1M002

Ressources

Le polycopié de référence du cours est celui d’Antonin Guilloux. Vous trouverez d’autres documents relatifs au cours sur sa page web.

Séance 1 : chap. 1, logique

  • énoncés mathématiques
  • variables et quantificateurs
  • raisonnement

À écouter : un entretien avec Cédric Villani

https://www.franceinter.fr/emissions/l-heure-bleue/l-heure-bleue-15-janvier-2019

Séance 2 : chap. 2, suites réelles et complexes

  • suites et sous-suites
  • suites réelles ou complexes, opérations sur les suites
  • suites bornées, suites réelles monotones
  • suites convergentes (définition)

À regarder : les 3 premières minutes de cette vidéo (pas plus !)

Séance 3 : chap. 2, suites réelles et complexes

  • suites convergentes (théorèmes) : suites réelles monotones, théorème dit “des gendarmes”, suites adjacentes
  • théorème de Bolzano-Weierstrass

Séance 4 : chap. 3, suites numériques récurrentes

  • représentation graphique de $u_{n+1}=f(u_n)$, exemples
  • intervalle stable
  • fonctions continues : points fixes
  • fonctions lipschitziennes, contractantes : théorème du point fixe de Banach
  • fonctions dérivables : points fixes attractifs et répulsifs

Séances 5 et 6 : chap. 4, matrices

  • matrices vues comme tableaux de nombres
  • exemples : matrice d’adjacence d’un graphe, matrice d’un système linéaire et matrice étendue, matrice de la conjugaison complexe vue comme application de $R^2$ dans lui-même
  • addition, multiplication par un scalaire, multiplication de deux matrices
  • le produit matriciel est associatif, non intègre
  • cas des matrices carrées : matrice identité de taille $n$, matrices diagonales, triangulaires
  • matrices inversibles

Séances 7 et 8 : chap. 5, systèmes linéaires

  • écriture sous forme matricielle
  • aspects théoriques, rang d’un système
  • opérations élémentaires sur les lignes, pivot de Gauss
  • théorème de Rouché-Fontené

Séances 9 et 10 : chap. 6, déterminants

  • cas des matrices $2*2$ : interprétation comme mesure de l’aire orientée du parallélogramme formé par les vecteurs $\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}$, multiplicativité, forme alternée, multilinéaire, lien avec l’inversibilité
  • cas des matrices $n*n$ : théorème (admis) d’existence et unicité d’une forme alternée, multilinéaire, normalisée à $1$ sur la matrice identité
  • développement selon une ligne ou une colonne
  • comatrice, lien avec l’inversibilité
  • calculs de déterminants

Séances 11 et 12 : chap. 7, intégration

Séances 13 et 14 : chap. 8, étude théorique de l’intégrale

Séances 15 et 16 : chap. 9, espaces vectoriels

Séances 17 et 18 : chap. 10, matrices d’une application linéaire, changement de bases, réduction

Assistant Professor of Applied Mathematics

My research interests include mathematics applied to biology and ecology.