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Exercices sur la syntaxe de base et les tableaux

La solution des exercices ne doit pas être tapée directement dans la fenêtre de commandes mais au contraire dans la fenêtre de l'éditeur de manière à être sauvegardée dans un script pour pouvoir y revenir ultérieurement(cf. 1). Les mots clefs en italiques dans la marge sont des fonctions Matlab  à utiliser pour faire l'exercice. Taper par exemple
help  norm
dans la fenêtre de commandes pour connaître la syntaxe d'utilisation de la fonction norm.

Exercice 3   On note $u$, $v$ et $w$ les vecteurs suivants

\begin{displaymath}u=(1,-1, 2)^T,\; v=(10,-1, 3)^T\; w=(5,-1, 4)^T.\end{displaymath}

  1. Calculer $3u$, $\Vert u\Vert _2$, $2u-v+5w$, $\Vert 2u-v+5w\Vert _1$, $\Vert w-4v\Vert _\infty$.
  2. Déterminer l'angle formé par les vecteurs $v$ et $w$.

Exercice 4   On note $u$ et $v$ les nombres complexes

\begin{displaymath}u=11-7i\quad v=-1+3i.\end{displaymath}

Calculer les modules de $u$ et de $v$, les produits $u{\bar v}, v{\bar u}$, la partie réelle et la partie imaginaire de $u^3+v^2$.

Exercice 5   On note $A$, $B$ et $C$ les matrices suivantes

\begin{displaymath}A=\pmatrix{1 & 3 & 2 \cr -5 & 3 & 1\cr -10 & 0 & 3\cr 1 & 0 &...
...ix{1 & -2 & 5 \cr 6 & 1 & -1}
,\;C=\pmatrix{10 & -5 \cr 3 & 1}.\end{displaymath}

  1. Calculer les matrices $AB, BA$ et $AB^T$.
  2. Calculer les matrices $D=I_2-BB^T$.
  3. Calculer les déterminants des matrices $A$, $B$, $C$, $D$ et $E= AA^T$.
  4. Calculer les inverses des matrices $A$, $B$, $C$, $D$ et $E= AA^T$.
  5. Calculer les valeurs propres de la matrice $E$. Quel est le rayon spectral de $E$?
  6. Déterminer les vecteurs propres de la matrice $A$.

Exercice 6   On pose

\begin{displaymath}A=\pmatrix{1 & -1 & 7 \cr -4 & 2 & 11\cr 8 & 0 & 3},\;
B=\pmatrix{3 & -2 & -1\cr 7 & 8 & 6\cr 5 & 1 & 3}
.\end{displaymath}

Que font les instructions suivantes
3*A; A.*B; A./B; cos(A); exp(B);

Exercice 7   Pour chacune des matrices

\begin{displaymath}A_1=\pmatrix{1&2&3\cr 3&2&1\cr 4&2&1},\;
\quad A_2 =\pmatrix...
...75 & 0 &- 0.125 \cr
0 & 0.5 & 0 \cr
- 0.125 & 0 & 0.375 }
,\end{displaymath}

calculer $A_i^n$, pour $n=1,2,3\ldots $ Que vaut $\displaystyle
\lim_{n\rightarrow +\infty}A^n$?.

Exercice 8   On pose

\begin{displaymath}A=\pmatrix{1 & -1 & 7 \cr -4 & 2 & 11\cr 8 & 0 & 3},\;
B=\pmatrix{3 & -2 & -1\cr 7 & 8 & 6\cr 5 & 1 & 3}
.\end{displaymath}

Que font les instructions suivantes
v=[1, 2, 4, 7];
A(v)=A(v) + 0.01;
B(v)=abs(B(v));

Exercice 9  
  1. Créer un vecteur de $11$ coordonnées contenant les nombres $-5,-4,...,4,5$.
  2. Créer un vecteur de $1001$ coordonnées contenant les nombres $-500,-499,-498...,499,500$.
  3. Créer un vecteur $u$ contenant $10$ valeurs entre $0$ et $\pi$ séparées par un incrément constant.
  4. Créer un vecteur $v$ tel que $v_{2i}=\cos u_{2i}$ et $v_{2i+1}=\sin
u_{2i+1}$

Exercice 10   On rappelle deux approximations de la dérivée d'une fonction par différences finies

\begin{eqnarray*}
f'(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h},\quad f'(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}
\end{eqnarray*}

  1. Définir dans un M-file la variable $h=0.1$ et un tableau d'abscisses $x$ pour discrétiser finement l'intervalle $[0,\pi]$.
  2. Calculer dans un tableau $d$ la dérivée exacte de la fonction $\sin$ aux points $x$ et dans un tableau $d1$ les valeurs approchées par la première formule ci-dessus. Calculer l'erreur maximale commise en faisant cette approximation sur l'intervalle $[0,\pi]$. Diminuer $h$, que remarque-t-on?
  3. Mêmes questions avec la deuxième approximation. Les valeurs approchées seront calculées dans un vecteur $d2$
  4. Représenter sur le même graphique la dérivée et ses deux approximations
    plot(x,d,x,d1,x,d2)
    Que remarque-t-on, quelle est la meilleure approximation ?


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marie 2005-02-01