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Mes thèmes de recherche


À la frontière entre les probabilités (processus de Markov, couplages) et l'analyse (EDP, inégalités fonctionnelles), j'étudie le comportement en temps long de processus stochastiques et leur utilisation dans des algorithmes stochastiques (type MCMC ou recuit), notamment pour la dynamique moléculaire. Je m'intéresse en particulier à des processus, en un sens, dégénérés : non-réversibles, hypoelliptiques, hypocoercifs, déterministes par morceaux...

Dynamique moléculaire

Dans le cadre de la physique statistique, pour réaliser une expérience in silico, on est amené à considérer un système chimique (une molécule par exemple) comme une variable aléatoire, distribuée selon une loi de Gibbs associée à son énergie. Les grandeurs d'intérêt, qui sont des moyennes statistiques, sont estimées par des méthodes de type MCMC. Un certain nombre de difficultées spécifiques se posent : systèmes de grandes dimensions, multi-échelles (le temps d'une réaction chimique peut être très long devant la période d'oscillation d'un groupe d'atomes), métastabilité, géométrie complexe du potentiel, etc., qui demandent des algorithmes spécifiques.

Échantillonnage à mémoire

Les méthodes MCMC reposent sur l'exploration d'un espace inconnu par un processus de Markov, qui n'a donc par définition pas de mémoire. Or, un explorateur amnésique n'est pas très efficace : il revient souvent sur ses pas, sans jamais rien apprendre. Pour remédier à cela tout en évitant de garder trop de mémoire, deux solutions : soit garder une mémoire longue mais de petite dimension (méthode ABF, métadynamique...), soit garder une mémoire courte, voire instantanée, c'est-à-dire une inertie (processus cinétiques).

Hypocoercivité

Notamment pour vérifier la convergence et juger de l'efficacité d'algorithmes, il s'agit de pouvoir quantifier la vitesse de convergence de dynamiques stochastiques vers leur équilibre (mais la question déborde largement du cadre de l'algorithmie). Or, un certain nombre d'outils classiques (méthodes d'entropie, inégalités fonctionnelles, etc.) qui marchent très bien pour la diffusion de Langevin amortie (une diffusion réversible et elliptique) ne s'appliquent plus, par exemple, aux processus cinétiques (la diffusion de Langevin, typiquement) ou déterministes par morceaux. Pour ces derniers, la convergence peut ne pas avoir lieu à taux constant : on dit qu'ils sont hypocoercifs.


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