Thèmes de recherche

Mes thèmes de recherche


Je m'intéresse en premier lieu à l'analyse mathématique des équations de la mécanique des fluides incompressibles, dont Navier-Stokes est un exemple. Je poursuis dans ce cadre l'étude de critères suffisants donnant la régularité locale (en temps et en espace) des solutions faibles de l'équation de Navier-Stokes incompressible, homogène dans un premier temps avec de possibles prolongements au cas inhomogène à l'avenir. L'extension de tels critères dans un cadre anisotrope requiert, de manière surprenante, un théorème d'unicité pour une équation linéaire dans une classe de solutions si faible qu'il semble difficile d'y prouver l'existence de solutions. Dans le cas qui nous intéresse, l'existence nous vient d'ailleurs et est en fait une conséquence du théorème d'existence de J. Leray. Ce curieux résultat a fait l'objet de la Note aux Comptes Rendus [1] et a été amélioré dans l'article [2], consultables dans la liste des publications.

Par ailleurs, je collabore avec Ram Band autour des graphes quantiques. Un graphe quantique est la donnée d'un graphe discret pour lequel on assimile chaque arète à un intervalle d'une certaine longueur, ce qui en fait un espace métrique compact si le graphe est fini. Ces objets sont apparus implicitement dans la littérature physicienne dès les années 30, pour modéliser la délocalisation des électrons sur certaines molécules. On peut associer à de tels graphes un opérateur sur les arètes (par exemple le laplacien 1D) et des conditions aux sommets, qui remplacent les conditions aux bords pour un opérateur elliptique usuel. On cherche alors des bornes explicites sur la première valeur propre non nulle d'un tel opérateur en fonction uniquement de paramètres géométriques, topologiques et combinatoires du graphe, ainsi que les possibles formes de graphes pour lesquels ces bornes deviennent des égalités. Des réponses partielles à ces questions se trouvent dans l'article [3].
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