Analyse non-linéaire et EDP
Programme de l'année 2016-2017
Université Pierre-et-Marie-Curie (Paris 6), Laboratoire Jacques-Louis-Lions
Ecole Normale Supérieure, Département de Mathématiques et Applications
Université Paris-Diderot (Paris 7), Institut de Mathématiques de Jussieu

Le groupe de travail a lieu un mardi par mois de   9h30 à 12h30,
 Le lieu tourne entre plusieurs sites parisiens (précisé ci dessous pour chaque exposé)
Chaque séance est composée d'un mini-cours introductif au sujet, de 9h30-11h, puis d'un exposé de recherche plus avancé de 11h30-12h30.






Deuxième semestre :

le 24 JANVIER 2017
ENS ULM, Salle W
François Bolley (Université Pierre et Marie Curie)

Equation de dérive-diffusion: entropie et transport optimal

Les méthodes entropiques, d'inégalités fonctionnelles (de Sobolev, Sobolev logarithimiques) et de transport optimal sont adaptées à l'étude d'équations de dérive-dffusion, de type Fokker-Planck : elles permettent en particulier d'en mieux saisir la dynamique, notamment en temps petit et grand. On en présentera les résultats classiques, dûs notamment à D. Bakry, Y. Brenier, M. Emery, M. Ledoux, F. Otto, et des apports récents, obtenus avec I. Gentil et A. Guillin.


9h30-11h Puis 11h30-12h30

le 31 JANVIER 2017
JUSSIEU, salle 15-16-309
Matthieu Hillairet (Université Montpellier 2)

Homogénéisation du problème de Stokes dans des domaines perforés

Pour décrire le comportement d'un fluide visqueux incompressible transportant des particules solides, il est nécessaire d'avoir recours à différentes approches selon la concentration de la phase solide. Dans un cadre suffisamment dilué, mais où le nombre des particules est trop élevé pour qu'une description individuelle soit pertinente, une de ces approches consiste à coupler une équation de type Stokes ou Navier-Stokes pour le fluide avec une équation de Vlasov pour la phase solide. Une question est alors de calculer les termes de couplage à ajouter entre ces deux équations de façon à prendre en compte les interactions entre particules et fluide.

Dans ces exposés, je me placerai du point de vue du fluide dans le cas simple où son comportement est régi par les équations de Stokes stationnaires. En suivant des travaux de L. Desvillettes, F. Golse et V. Ricci, je relierai la question mentionnée ci-dessus à l'homogénéisation du problème de Stokes dans un domaine perforé avec des conditions aux bords de type Dirichlet (non homogène). Je rappellerai dans un premier temps les différents points de vue pour résoudre le problème de Stokes dans un domaine perforé et discuterai ensuite le calcul d'un système homogénéisé en fonction des caractéristiques de la phase solide (forme et distribution des particules).


9h30-11h Puis 11h30-12h30
le 7 MARS 2017
ENS ULM, Salle W
Laurent Desvillettes (Université Paris-Diderot)

Régularité et comportement en temps grand des solutions spatialement homogènes de l'équation de Landau de la physique des plasmas

Dans une première partie, on présente les opérateurs de Boltzmann et de Landau issus de la théorie cinétique des gaz et de la théorie des plasmas collisionnels. On explique la structure entropique de ces opérateurs (théorème H de Boltzmann), et on introduit les conjectures de Cercignani, et leur preuve dans certains cas particuliers (travaux de Toscani-Villani, LD-Villani et Villani). Ces conjectures peuvent être vues comme une version quantitative du théorème H de Boltzmann, et permettent de donner des estimations explicites de convergence vers l'équilibre thermodynamique pour un gaz homogène.

La seconde partie sera consacrée à une présentation des résultats récents obtenus par Carrapatoso, LD, He dans le cas physique (celui du potentiel Coulombien) pour l'opérateur de Landau, et aux travaux de Breden et LD sur la question de la caractérisation de l'équilibre thermodynamique dans des cas où la physique est complexe (relativité, turbulence faible, etc.).


9h30-11h Puis 11h30-12h30
le 25 AVRIL 2017
ENS ULM, Salle W
Evelyne Miot (Université Grenoble)

Limite gyrocinétique pour le système de Vlasov-Poisson sans ou avec charges ponctuelles

Le but de cet exposé sera d'étudier la convergence du système de Vlasov-Poisson vers l'équation d'Euler incompressible en dimension deux, dans un certain régime asymptotique appelé limite gyrocinétique.

La première partie comprendra une introduction aux deux équations considérées : principales propriétés, formulation lagrangienne, problème de Cauchy. On présentera aussi un panorama des différents régimes asymptotiques pour le système de Vlasov-Poisson et un état de l'art des résultats les concernant, notamment les travaux de L. Saint-Raymond et F. Golse d'une part et de Y. Brenier d'autre part.

Dans la seconde partie, on énoncera des théorèmes de façon plus précise et on donnera un aperçu des démonstrations. Plus précisément, on montrera que la convergence de Vlasov-Poisson vers Euler a bien lieu pour des données initiales bornées et dont l'énergie et les normes satisfont à certaines estimations. Puis, on présentera unrésultat de convergence (à mesure de défaut près) pour un système de Vlasov-Poisson modifié, décrivant l'interaction d'une densité bornée de particules avec une masse de Dirac.


9h30-11h Puis 11h30-12h30
le 30 MAI 2017
JUSSIEU, Salle à préciser
Sandrine Grellier (Université d'Orléans)

Différentes facettes de la turbulence des solutions de l'équation de Szegö cubique

On s'intéresse au comportement en temps long des solutions des systèmes hamiltoniens et notamment aux phénomènes de turbulence. Les seuls modèles dans lesquels il est possible de décrire de tels phénomènes à ce jour sont ceux pour lesquels des calculs explicites sont possibles. Ici, on décrira un modèle simple d'équation pour lequel on a construit une transformation de Fourier non linéaire donnant une expression explicite des solutions. Cette résolution explicite nous permet de mettre en évidence de la turbulence: une petite perturbation des données initiales peut faire apparaître en temps long des oscillations spectaculaires de la solution sur de petites échelles spatiales.

Dans la première partie de l'exposé , on développera l'analyse de l'équation et on expliquera la construction de la transformée de Fourier non linéaire. Dans la seconde partie, on expliquera comment l'expression des solutions permet de décrire des phénomènes de turbulence et de les quantifier de différentes manières.

Il s'agit d'un travail en commun avec Patrick Gérard.


9h30-11h Puis 11h30-12h30
le 13 JUIN 2017
JUSSIEU, Salle à préciser
Boris Andreianov (Université de Tours)

Lois de conservation avec contraintes ponctuelles: analyse, approximation, modélisation du traffic routier et piétonnier


9h30-11h Puis 11h30-12h30







Premier semestre :

le 13 septembre 2016
ENS ULM, Salle R
Pierre Cardaliaguet (Paris Dauphine)

Les "Jeux à Champs Moyen" traitent de problèmes de contrôle optimal avec un grand nombre d'agents. Lorsque le nombre d'agents est fini, le comportement des agents est classiquement modélisé par le système de Nash, un (très gros) système d'équations paraboliques. On cherche ici à décrire le comportement de ce système lorsque le nombre d'agents tend vers l'infini. Suivant les travaux de Lasry et Lions, la limite est formellement décrite, soit par un système couplant une équation de Hamilton-Jacobi à une équation de Kolmogorov, soit par une "Master equation" posée sur l'espace des mesures de probabilité. Dans un premier temps, on décrira les deux systèmes limite, ce qui nécessite un peu de calcul différentiel sur l'espace des mesures de probabilité. Dans un second temps on présentera des résultats de type "champs moyen", obtenus avec Delarue, Lasry et Lions, sur le passage à la limite dans le système de Nash lorsque le nombre d'agents tend vers l'infini.

9h30-11h Puis 11h30-12h30

le 18 octobre 2016
JUSSIEU, salle 15-16-309
Clotilde Fermanian (Paris Est - Créteil Val de Marne)

Mesures de Wigner et théorèmes de masse effective

La dynamique d'un électron dans un crystal en présence d'impuretés est décrite par une fonction d'onde, solution d'une équation de Schrödinger semi-classique. La théorie de la masse effective consiste à montrer que, sous des conditions adéquates sur la donnée initiale, la fonction d'onde peut être approchée dans la limite semi-classique par la solution d'une équation plus simple, l'équation de masse effective qui ne dépend pas du paramètre semi-classique. Il est classique en physique des solides d'utiliser la décomposition de Floquet-Bloch et c'est dans ce cadre que se situe le travail avec Fabricio Macia (Universidad Politecnica, Madrid) et Victor Chabu (Université Paris-Est Créteil) que je présenterai. Notre approche en termes de mesures de Wigner permet d'étendre le champ des données initiales traitées auparavant et de relaxer certaines hypothèses sur les bandes de Bloch, l'équation de Schrödinger est alors remplacée par une équation de Heisenberg.

La première partie de l'exposé sera consacrée à une présentation des équations (dérivation de l'équation semi-classique en particulier), à l'étude de quelques exemples et à la description de quelques résultats sur les mesures de Wigner. La deuxième partie de l'exposé aura pour objectif de présenter notre résultat et de donner quelques idées de la preuve.

9h30-11h Puis 11h30-12h30
le 15 novembre 2016
ENS ULM, Salle R
Jean-Michel Roquejoffre (Toulouse)

Comportement en grand temps des solutions d'équations de type Fisher-KPP.

Dans un article célèbre de 1937, Kolmogorov, Petrovskii et Piskunov démontrent, pour une équation de réaction-diffusion apparemment très simple, introduite par Fisher comme un modèle de dynamique des populations, la convergence de la solution issue de la fonction de Heaviside vers une solution d'onde progressive. Cette convergence a lieu dans un repère suivant celui de l'onde, modulo une correction sous-linéaire en temps. Ils ne précisent pas si ce shift tend vers une constante ou si un comportement moins trivial a lieu. Les équations similaires à celles étudiées par Kolmogorov, Petrovskii et Piskunov sont depuis connues sous le nom d'équations de type Fisher-KPP. Un pas a été franchi par Bramson au début des années 1980 dans la compréhension du shift: au rebours de la plupart des résultats connus dans les problèmes de convergence vers des ondes de réaction-diffusion, le shift est non trivial et se comporte, sur les grands temps, comme un logarithme. La démonstration repose sur des arguments probabilistes et des calculs très techniques.

Le point de départ sera une démonstration très simple du résultat de Bramson, avec des outils d'EDP (travail en commun avec J. Nolen et L. Ryzhik). On expliquera ensuite on peut s'en servir pour comprendre des situations moins simples. On discutera des questions suivantes: dynamique non triviale en 2 dimensions d'espace (travail en commun avec V. Roussier), développement asymptotique du shift (travail en commun avec J. Nolen et L. Ryzhik), shift non logarithmique dans les modèles inhomogènes en temps (travail en commun avec L. Rossi et L. Ryzhik).



9h30-11h Puis 11h30-12h30
le 6 décembre 2016
JUSSIEU, Salle 15-25 502
Frédéric Bernicot (Nantes)

Titre: Introduction au calcul paracontrollé et application au modèle parabolique d'Anderson.

Le calcul paracontrollé est une théorie très récente, développée par Gubinelli-Imkeller-Perkowski pour l'étude d'EDP singulières / stochastiques. Cette approche, parallèle à celle de Hairer ('structures de régularité') est basée sur une décomposition à l'aide de paraproduits afin d'isoler exactement les termes singuliers.

Dans une première partie, je présenterai tout d'abord les bases / prérequis sur les paraproduits et leur continuités dans les espaces de Hölder. Ceci nous permettra de comprendre la problèmatique et les difficultés apparaissant dans l'equation prototype: modèle parabolique d'Anderson (PAM) en dimension 2. Nous verrons aussi comment tout cela peut-être étendu dans un cadre très général donné par un semi-groupe (semi-groupe de la chaleur sur une variété, semi-groupe d'opérateur sur l'espace Euclidien, ...).

Dans un second temps, nous illustrerons et expliquerons précisément la philosophie du calcul paracontrollé en résolvant l'équation (PAM) en dimension 2. Nous finirons par donner quelques idées sur le cas de la dimension 3 qui est plus difficile.



9h30-11h Puis 11h30-12h30

Programme de l'année 2015-2016

Programme de l'année 2014-2015

Programme de l'année 2013-2014

Programme de l'année 2012-2013

Programme de l'année 2011-2012

Programme de l'année 2010-2011

Programme de l'année 2009-2010

Programme de l'année 2008-2009