N5-MIH
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Présentation du cours

Le but de ce cours est de fournir quelques outils fondamentaux de topologie et d'analyse fonctionnelle que l'on retrouve dans beaucoup d'applications de mathématiques, notamment l'analyse hilbertienne et l'analyse de Fourier. Une présentation simplifiée de la théorie de l'intégration de Lebesgue est également au programme.

ANNONCE DU 4 JANVIER

Contrairement à l'annonce faite hier, le cours aura lieu demain en présentiel à l'heure habituelle.

ANNONCE DU 3 JANVIER

Je vous adresse tous mes meilleurs voeux pour l'année 2022.

Comme vous le savez déjà, votre enseignement est passé en distanciel. Pour notre dernier cours, je vous invite à vous connecter sur le lien

https://bbb-greenlight.sorbonne-universite.fr/jea-gkf-xpt-e3p

mercredi 5 janvier à 10H45 comme de coutume.

Séance du mercredi 14 décembre .

Lors de cette séance, nous avons poursuivi l'étude des espaces de Hilbert. Nous avons démontré le théorème de projection orthogonale sur un sous espace vectoriel fermé et construit des bases hilbertiennes pour les esapces de Hilbert séparables. Ceci correspond au contenu des sections 8.3 et 8.4 des notes de cours.

Les exercices qui seront la matière des séances de TD des lundis 3 et 10 janvier sont disponibles ici.

RAPPEL : La liste des questions qui seront au programme de l'examen final du mercredi 12 janvier 2022 est disponible à la dernière page de la nouvelle version des notes qui est disponible ici.

Bonnes vacances

Séance du mercredi 7 décembre .

Lors de cette séance, nous avons commencé l'étude des espaces de Hilbert et l'accent a été mis sur les propriétés algébriques de base du produit scalaire. Nous avons traité le contenu de la section 8.1 et de la section 8.2. jusqu'au Théorème 8.2.1 d'orthogonalisation de Gramm-Schimdt et sa démonstration.

La liste des questions qui seront au programme de l'examen final du mercredi 12 janvier 2022 est disponible à la dernière page de la nouvelle version des notes qui est disponible ici.

Séance du mercredi 1 décembre .

Cette séance a été consacré tout d'abord à la démonstration détaillé du fait que l'ensemble des applications linéaires continues est un ouvert. Ensuite, nous avons calculé des nomres d'applications linéaires dans le cas de la dimension finie. Ensiuite, nous avons étudié la notion d'exponantielle de matrices. Ceci correspond aà la fin de la section 7.2. et aux sections 7.3. et 7.4 aux sections des notes de cours dont une nouvelle version est disponible ici.

Les exercices qui feront l'objet des séances de TD des lundis 6 et 13 décembre sont disponibles ici.

Séance du mercredi 24 novembre.

Cette séance a été consacrée à l'étude de la compacité. Nous avons traité les sections 6.1. et 6.2 des notes ce cours dont une nouvelle version est disponible est disponible ici.

Séance du mercredi 17 novembre.

Cette séance a été consacrée à l'étude de la compacité. Nous avons traité les sections 6.1. et 6.2 des notes ce cours dont une nouvelle version est disponible ici.

Les exercices qui seront l'objet de deux prochaines séances de TD sont disponibles ici.

Séance du lundi 8 novembre.

Lors de cette séance, nous avons poursuivi l'étude de la topologie des espaces métriques notamment au travers de l'étude des espaces complets. Cela correspond à la section 5.4 des notes de cours dont une nouvelle version est disponible ici.

La semaine prochaine reprendra suivant le schéma habituel de la séance de TD le lundi et le cours le mercredi. Pour la prochaine séance, il est fortement recommandé de relire la démonstration du théorème de Bolzano-Weierstrass page 10.

Séance du mercredi 27 octobre.

Lors de cette séance, nous avons poursuivi l'étude de la topologie des espaces métriques notamment au travers de l'étude de l'adhérence et de l'intérieur d'une partie d'un espace métrique. Ceci correspond au contenu des sections 5.1, 5.2 et 5.3 des notes de cours dans leur nouvelle version disponible ici.

Les exercices qui seront lors de la prochaine séance de TD sont disponibles ici. EXCEPTIONNELLEMNT, le séance de TD de la semaine 45 aura lieu le mercredi 10 novembre de 10H45 à 12H45 et cours le lundi 8 novembre de 13H45 à 15H45. 10H45

Une nouvelle version des notes de cours avec un chapitre 5 très remaniée est disponible ici.

BONNES VACANCES

Séance du mercredi 20 octobre.

Lors de cette séance, nous avons poursuivi l'étude des espaces normés de fonctions intégrables. Nous avons ensuite introduit les espaces de suites bornées, sommables ou bien de carré sommables et ainsi conclut l'étude du chapitre 4 des notes de cours. Nous avons abordé l'étude de la topologies des espaces métriques en définissant les boules ouvertes et fermés ainsi que les ouverts et les fermés.

Les exercices qui seront lors de la prochaine séance de TD sont disponibles ici.

Une nouvelle version des notes de cours est disponible ici.

Séance du mercredi 13 octobre.

Lors de cette séance, nous avons poursuivi l'étude des espaces normés en introduisant des normes sur les espaces vectoriels de fonctions continues sur un intervalle fermé borné de R. Nous avons ensuite examiné le cas des espaces de fonctions intégrables au sens de Lebesgue et l'espace des fonctions dont le carré du module est intégrable. Ceci correspond à la deuxième section et au début de la troisième section du Chapitre 4 des notes de cours.

Une nouvelle version des notes de cours sera disponible ici à partir de lundi prochain.

Séance du mercredi 6 octobre.

Lors de cette séance, nous avons poursuivi l'étude de la théorie de la mesure telle que présentée au chapitre 3 des notes de cours. Ensuite, nous avons abordé l'étude des espaces métriques et des espaces vectoriels normés et avons traité la première section du chapitre 4 des notes de cours.

Une nouvelle version des notes de cours est disponible ici.

Les exercices traités lors de deux prochaines séances de TD sont disponibles ici.

Séance du mercredi 29 septembre.

Lors de cette séance, nous avons poursuivi l'étude de l'intégrale de Lebesgue et étusdié la matnière du chapitre 2 des notes de cours. Ensuite, nous avons abordé la notion de mesure des ensembles et exposé la première section du troisième chapitre des notes de cours.

Une nouvelle version des notes de cours est disponible ici.

Séance du mercredi 22 septembre.

Lors de cette séance, nous avons introduit axiomatiquement l'intégrale de Lebesgue et avons donné les premiers exemples. de fonctions intégrables. Cela correspond aus deux premières sections de la nouvelle version des notes de cours est mise en ligne.

Les exercices traités lors de la séance de TD du lundi 27 septembre sont disponibles ici.

Séance du mercredi 15 septembre.

Lors de cette séance, nous avons démontré le théorème de Bolzano-Weierstrass et le thérème de Heine. Nous avons utilisé ce résulat pour donner les grandes lignes de la contruction de l'intégrale des fonctions continues. Ceci conclut l"'etude du chapitre 1 des notes de cours.

Les exercices traités lors de la séance de TD du lundi 20 septembre sont disponibles ici.