Ce cours vise à étendre les techniques d'étude des fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles aux fonctions de plusieurs variables réelles à valeurs vectorielles. Ceci implique l'introduction des concepts de base de la topologie (distance,normes, ouverts, fermés...). L'autre aspect est le calcul différentiel qui est abordé ici sous l'angle des dérivées partielles dans le cadre des fonctions de classe C1).

Lors de cette dernière séance, nous avons conclu l'étude du chapitre 5 des notes de cours.

Merci pour votre attention pendant ce semestre. Bonnes vacances!

Lors de cette séance, nous avons abordé le cinquième et dernier chapitre des notes de cours qui viser à généraliser la notion de dérivée seconde pour les fonctions de plusieurs variables réelles à valeurs réelles. Nous avons traité le contenu des sections 5.1. à 5.4 des notes de cours sans démontrer le théorème de Schwarz 5.3.

Liste des questions de cours exigibles pour le contrôle continu de la semaine du 3 janvier:

-- Définition 5.1 des points critiques,

-- Théorème 5.1 : Enoncé et démonstration,

-- Définition 5.4 de la Hessienne,

-- Théorème 5.6: Enoncé

-- Théorème 5.7: Enoncé

Lors de cette séance, nous avons démontré trois énoncés que nous avions exposés et commentés la semaine précédente : le point ii) de la proposition 4.1, les théorèmes 4.1 et 4.2. Nous avons beaucoup insisté sur les cas particuliers simples du théorème de composition 4.2, notamment lorsque la première fonction agissant dans la composition est une constante plus t fois un vecteur. La compréhension de ce théorème et la capacité à l'appliquer de façon fluide est un point crucial du cours.

Lors de cette séance, nous avons commencé l'étude du calcul différentiel. Nous avons présenté les définitions et principaux théorèmes du chapitre 4. Nous avons notamment énoncé et commenté le théorème 4.1, les résultats sur la somme et le produit des fonctions C1, ainsi que le théorème de composition 4.2. Aucune démonstration n'a été faite. Elles seront l'objet de la prochaine séance.

Cette séance a été consacrée à l'étude de l'uniforme continuité en lien avec la compacité. Ensuite, nous avons introduit la connnexité par arcs. Ceci correspond au contenu des sections 3.5. et 3.6. des notes de cours. Le contenu de ses deux sections n'est pas au programme du partiel du vendredi 19 novembre.

Compte tenu des vacances, du week-end du 11 novembre et de la semaine consacrée au partiels, la prochaine séance aura lieu le vendredi 26 novembre. Nous commencerons alors l'étude du calcul différentiel à plusieurs variables.

BONNES VACANCES!

Lors de cette séance, nous avons poursuivi l'étude des fonctions continues. Nous avons notamment étudié l'image récriproque d'une partie ouverte ou fermé de Rp par une application continue en tout point de Rn dans Rp. Nous avons aussi exhibé plusieurs exemples d'applications. Ensuite, nous avons montré que l'image d'un compact par une application continue est un compact. Nous en avons déduit qu'une fonction à valeurs réelles continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes. Ceci a été l'occasion de revisiter la démonstration du fait que toutes les normes sur Rn sont équivalentes. Ceci achève l'étude des quatre première sections des notes de cours et le programme du partiel s'arrête là.

Comme expliqué dans la Section " Fonctionnement de l'UE et contrôle des connaissances " sur moodle, 40% du barème du partiel portera sur des exercices fondamentaux tirés des feuilles de TD et du polycopié, pour lesquels on aura éventuellement effectué des modifications numériques dans l'énoncé. Voici la sélection d'exercices de laquelle seront extraits ces exercices:

Feuille de TD1 : Exercice 1

Feuille de TD 2 : Exercices 2 et 4

Feuille de TD3 : Exercices 3 et 6

Polycopié : Exercices fondamentaux 1, 3, 4, 6, 7, 8, 11, 13 et 14.

La séance du 29 octobre sera consacrée à l'étude de la connexité par arcs et à la démonstration du théorème d'uniforme continuité sur les compacts ce qui correspond aux cinquième et sixième section du troisième chapitre des notes de cours.

Lors de cette séance, nous avons poursuivi l'étude des fonctions continues d'un domaine de Rn à valeurs dans Rp. Nous avons insisté sur les différents modes d'étude de la continuité (majoration des normes ou bien caractérisation séquentielle). Nous avons introduit la notion de prologement par continuité en un point de l'adhérence du domaine de définition. Nous avons également démontré les résultats classiques sur la somme, le produit et la composée de fonctions continues. Ceci correspond au contenu de la section 3 du chapitre 3. En conclusion de la séance, nous avons établi que l'image réciproque d'un ouvert par une application continue en tout point de Rn est un ouvert. Nous étudierons plus avant cette propriété lors de la séance du vendredi 22 octobre.

Lors de cette séance, nous avons conclu l'étude du chapitre 2. Nous avons ensuite introduit la notion de limite d'une fonction en un point d'adhérent du domaine de définition, puis la notion de fonction continue en un point du domaine de définition. La matière traitée correspond au contenu des sections 3.1 et 3.2 des notes de cours.

Lors de cette séance, nous avons introduit les notions d'intérieur, d'adhérence et de parties denses et ainsi traité la matière de la section 2.4 des notes de cours. Ensuite, nous avons abordé la notion de compacité et traité la section 2.5 jusqu'au théorème 2.4 inclus.

Avant la séance du 1 octobre, il est recommandé de regarder deux vidéos qui abordent les notions de suites extraites d'une part et bornes supérieures et inférieures d'autres part. Ces deux vidéos ont été mises sur le site "Moodle" du cours.

Lors de cette séance, nous avons poursuivi l'étude des ensembles ouverts en démontrant les résultats fondamentaux sur les réunions et les intersections d'ouverts. Ensuite, nous avons étudiés la notions d'ensemble fermés ainsi que les notions d'adhérence et d'intérieur d'un ensemble. Les trois premières sections du deuxième chapitre des notes de cours ont ainsi été traitées.

Cette séance a tout d'abord été consacrée à l'étude de la convergence des suites d'éléments des espaces Rn et terminé ainsi l'exposition du contenu du chaiptre 1 des notes de cours. Ensuite, nous avons abordée l'étude de la topologie des espaces Rn en donnant la définition des boules ouvertes et des boules fermées. Nous avons conclu le cours par la présentation de la notion d'ensemble ouvert dans Rn. Cela représente le contenu de la première section du chapitre 2 ainsi que le début de la deuxième section de ce chapitre 2 jusqu'à la démonstration du fait qu'une boule ouverte est un ouvert.

Cette première séance a tout d'abord été consacrée à la présentation du cours dans son ensemble. Ensuite, nous avons présenté la notion de norme sur Rn et présenté les trois exemples que nous rencontrerons souvent lors de ce cours. Ceci correspond au contenu de l'introduction et des sections 1.1. et 1.2 des notes de cours.