Activités de recherche
/ english text /
 
__ Mes activités de recherche ont commencé par une thèse  sous la direction de Jacques Louis Lions en 1969 et depuis  ont porté sur les équations aux dérivées partielles. Le fait qu’il s’agisse d’un sujet "carrefour" m’a particulièrement motivé.
__ Si les équations différentielles ou les systèmes dynamiques sont concernés par des fonctions dépendant d’une variable (très souvent conformément à l’intuition il s’agit du  temps), les objets étudiés par les équations aux dérivées partielles sont définis dans des milieux distribués (un domaine de l’espace ou de l’espace temps).
__ Les problèmes proviennent de la Physique ou des Sciences de l'Ingénieur et il est souvent désirable d'obtenir des résultats complets y compris des calculs numériques ou des estimations d'erreurs. L'interaction avec l'Analyse Numérique et la Modélisation est donc très présente. Durant les quarante dernières années l’épanouissement du sujet a été stimulé par la conjonction  des progrès   des calculateurs et de l’analyse fonctionnelle.
__ La possibilité de réaliser des calculs approchés donne une importance nouvelle à l’étude qualitative (sans recourir à des solutions explicites ou semi explicites) donc à des théorèmes d’existence, d’unicité et de stabilité et en retour ces théorèmes orientent la mise au point des calculs numériques.
__ Mais comme les problèmes sont variés la méthodologie n’est pas préétablie et il convient de n’exclure à priori aucun outil mathématique.
Enfin on constate que c’est dans des  problèmes macroscopiques, observables à l’échelle humaine (d’où l’illustration avec l’arc en ciel et les vagues pour la propagation de la lumière et la mécanique des fluides sur ma page d’accueil) que les résultats les plus  fructueux  sont maintenant obtenus   alors que dans les siècles précédent ces mêmes équations étaient utilisées pour débattre de problèmes plus fondamentaux qu’appliqués. Je pense par exemple à la propagation de la chaleur qui a motivé les travaux de Fourier ou à  l’hypothèse atomique qui a conduit Boltzmann à l’équation qui porte son nom.
__ Cette démarche va aussi avec le développement des techniques ou sciences de  l’ingénieur et ce type de travail m’a donné plusieurs occasions de  collaboration suivie avec des centres de recherche (pas uniquement mathématiques) du secteur public ou privé.
__ Dans cet environnement et plus précisément depuis 1980, je me suis surtout consacré aux domaines suivants :
1. L’analyse microlocale et les théorèmes de propagation pour la résolution de problèmes pratiques d'une part,
2. Les équations de la mécaniques des fluides du type Navier Stokes ou Euler.
3. Les  équations cinétiques .
4. La limite de systèmes à N particules.
1. La Théorie microlocale et ses Applications.

__Ce sont dans les problèmes hyperboliques linéaires, dont le modèle est l’équation des ondes qu’apparaît le plus naturellement la notion de propagation. Il s’agit d’une idée ancienne reliée à la dualité onde-corpuscule et illustrée par le principe d’incertitude de Heisenberg. Son  traitement mathématique a connu depuis le Congrès International des Mathématiciens de  Nice en 1970 et sous l’influence de fortes personnalités comme Lax, Hormander ou Nirenberg une véritable explosion connue sous le nom d’analyse microlocale.  Dans le même temps le lien entre la théorie et les applications  a été un peu perdu de vue alors qu’une sérieuse demande existait chez les ingénieurs et les physiciens et ce n’est que lorsque le sujet a atteint une bon degré de formalisation que ses applications sont redevenues attirantes pour les "jeunes"  mathématiciens français.

__Une des motivations essentielle de l’analyse microlocale a été l’étude des valeurs propres du Laplacien dans un domaine borné. Il s’agit d’une suite de nombres positifs qui tendent vers l’infini. L’universalité du Laplacien fait que ces nombres apparaissent dans la description de phénomènes très nombreux et très variés. Cela va des harmoniques d’un instrument de musique (trompette,  violon ou tambour) aux fréquences   d’un atome et enfin c’est un sujet de théorie des nombres (compter le nombre de points de coordonnées entières dans un cercle ou une sphère centré à l'origine en fonction du rayon).  Le terme principal du comportement asymptotique de ces nombres, dit formule de Weyl, est connu depuis le début du 20ième siècle par contre la suite du développement n’est pas algébrique.  Comme cela a été observé par Balian et Bloch [1] et   Keller and Rubinow  [2] ces oscillations sont reliées aux rayons périodiques et ce sont les démonstrations rigoureuses de ce comportement qui impliquent l’analyse microlocale.

REFERENCES [1] Balian, R.; Bloch, C. Distribution of eigenfrequencies for the wave equation in a finite domain. I. Three-dimensional problem with smooth boundary surface.  Ann. Physics  60  1970 401--447.
[2] Keller, J. B. and Rubinow S. I.; Asymptotic solution of eigenvalue problems. Annals of Physics, Volume 9, Issue 1, January 1960, Pages 24-75 .

__Une seconde motivation correspond à la situation où le domaine considéré est l’extérieur d’un obstacle. La portion d’énergie située au voisinage de l’obstacle tend vers zéro mais la manière dont à lieu cette convergence dépend encore de la  géométrie des rayons. De plus apparaissent des nombres dits fréquences de résonances qui décrivent cette dispersion. Ces nombres sont complexes. Ils sont caractéristiques de l’obstacle et bien connus des radaristes.
En collaboration avec J. C. Guillot, J. Ralston, J. Rauch et G. Lebeau j’ai systématiquement étudié comment appliquer à ce problème extérieur les méthodes de l’analyse microlocale développées pour le problème intérieur  [3], [4].
REFERENCES  [3] B.,C.; Guillot, J.-C.; Ralston, J. La rélation de Poisson pour l'équation des ondes dans un ouvert non borne. Application \`a la théorie de la diffusion. French J Commun. Partial Differ. Equations 7, 905-958 (1982).
[4]  B.,C.; Lebeau, G.; Rauch, J. Scattering frequencies and Gevrey 3 singularities English   Invent. Math. 90, No.1, 77-114 (1987 )
__L’idée d’adapter à des systèmes distribués la méthodologie  du contrôle et de la stabilisation jointe à  la nécessité de comprendre les problèmes posés par la stabilisation de grandes structures comme les antennes de satellites a conduit J.L. Lions à une théorie abstraite du contrôle des équations hyperboliques. Ici aussi l’analyse microlocale donne  (un programme réalisé en collaboration avec J. Rauch et G.  Lebeau) des conditions nécessaires et suffisantes de contrôle et de stabilisation et d’expliquer pourquoi dans certains cas un contrôle modal (sur les premiers modes oscillants d’une structure) conduit a de l’overshooting ; c’est à dire a l’excitation de modes plus élevés. Ces conditions (nécessaires et suffisantes) pour stabiliser ou  contrôler toute oscillation sont très rarement réalisées dans la pratique tandis que l’overshooting  cité ci dessus est rare. Le paradoxe s’explique par le fait suivant  Les modes plus élevés ne contiennent que peu d’énergie et souvent sont amortis [5].

REFERENCES [5] B.,C.; Lebeau, G.; Rauch, J. Sharp sufficient conditions for the observation, control, and stabilization of waves from the boundary. English J SIAM J. Control Optimization 30, No.5, 1024-1065 (1992).

__Plus récemment, j’ai observé que l’analyse microlocale permettait d’expliquer le principe de retournement temporel mis en œuvre par plusieurs laboratoires de physique dont   le laboratoire d’Optique et d’Acoustique de Mathias Fink. Ce principe a de nombreuses applications en médecine (lysostrophie), en contrôle non destructif, en identification de cibles et en télécommunications. En plus des résultats naturels on peut démontrer comment l’ergodicité du milieu contribue au succès des expériences. On utilise pour cela (comme dans un domaine très voisin dit « chaos quantique ») le théorème d’Egoroff. [6]. Le même type d’analyse s’adapte à l’identification d’un milieu ergodique dont les points sont soumis à des excitations aléatoires indépendantes [7].

REFERENCES [6] B. C. ; A mathematical deterministic analysis of the time-reversal mirror. English CA Uhlmann, Gunther (ed.), Inside out: Inverse problems and applications. Cambridge: Cambridge University Press. Math. Sci. Res. Inst. Publ. 47, 381-400 (2003)
[7]  B. C., ;  Garnier,  J.  Papanicolaou G. Green function identification   by cross-correlation of noisy signals:  A semi-classical approach submitted in preparation.

2. Les équations d’Euler et de Navier Stokes pour la mécanique des fluides.

__ A  part leur  intérêt physique, les équations d’Euler ou de Navier-Stokes, sont un modèle de la pathologie des problèmes non linéaires.
Pour contribuer au sujet, j’ai commencé par montrer que les solutions des équations d’Euler restaient analytiques (pour des données initiales analytiques) tant que leur tourbillon était borné (donc pour tout temps en dimension 2 d’espace). Au passage, on précise le domaine d’analyticité ce qui contribue à évaluer la validité des approximations de type Galerkin [8].
Ensuite j’ai démontré que l’analyticité des données initiales était une condition suffisante pour que les équations de Kelvin Helmholtz soient bien posées [9].

REFERENCES [8] B.,C.; Benachour, S. Domaine d'analyticité des solutions de l'équation d'Euler dans un ouvert de Rn French J Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, Cl. Sci., IV. Ser. 4, 647-687 (1977).
[9] B. C Sulem, C.; Sulem, P.L.;   Frisch, U.  Finite time analyticity for the two and three dimensional Kelvin- Helmholtz instability. Commun. Math. Phys. 80, 485-516 (1981).

__ Gilles Lebeau et S. Wu ont montré [10], [11] qu’avec des hypothèses de régularité minimum l’analyticité était aussi nécessaire. Ce résultat apparemment académique a des conséquences sur la compréhension   des instabilités  des interfaces (Rayleigh Taylor, Kelvin Helmholtz etc…) Comme les singularités existent, on les observe ou  on les calculs numériquement, par un argument de contradiction,  on en déduit qu’en leur voisinage l’interface est plus singulière que ce qui conduirait à l’analyticité.
__ Je me  suis enfin  intéressé à la stabilité des solutions des équations d’Euler en dimension 2 [12],   problème lié à la compréhension de l’émergence et de la persistance des structures cohérentes comme on les observe sur les cyclones ou dans les taches rouges de Jupiter.

REFERENCES [10] Lebeau, G. Régularité du problème de Kelvin-Helmholtz pour l'équation d'Euler 2d. (French) [Regularity of the Kelvin-Helmholtz problem for the 2d Euler equation] A tribute to J. L. Lions.  ESAIM Control Optim. Calc. Var.  8  (2002), 801--825
[11]  Wu, S. Mathematical analysis of vortex sheets.  Comm. Pure Appl. Math.  59  (2006),  no. 8, 1065--1206.
[12]  B.,C.; Guo, Y.; Strauss, W.  Stable and unstable ideal plane flows. Chin. Ann. Math., Ser. B 23, No.2, 149-164 (2002). http://www.worldscinet.com/cam/cam.shtml 

3. Les équations cinétiques
__ En 1872   Boltzmann introduisit l’équation qui porte son nom et qui est un outil fondamental pour établir la validité des équations macroscopiques à partir de la dynamique des particules. La mise en forme rigoureuse de ces idées est l’un des problèmes fondamentaux proposés par Hilbert au congrès international des mathématiciens à Paris en 1900. On dispose depuis les travaux de Leray (1934) d’un théorème d’existence d’une solution faible des équations de Navier Stokes incompressibles (Leray 1934). On dispose aussi d’un théorème d’existence d’une solution « renormalisée » de l’équation de Boltzmann [13].

REFERENCES [13] Di Perna R. et Lions P.L. On the Cauchy Problem for the Boltzmann equation : Ann. of Math., 130, 1990, pp. 321-366.

__ Aussi une contribution au programme de Hilbert a consisté à prouver que toute solution renormalisée de l’équation de Boltzmann converge dans une échelle convenable vers une solution de Leray des équations de Navier Stokes.

__ Deux paramètres sont déterminants : le nombre de Knudsen qui décrit la raréfaction du gaz et le nombre de Mach, rapport entre la vitesse du son à l'infini et la vitesse caractéristique de l'écoulement. En (1991) avec F.  Golse et D. Levermore nous avons montré que, sous des hypothèses de stabilité convenables, lorsque le rapport des nombres de Knudsen et de Mach reste fini les solutions de l’équation de Boltzmann convergeaient vers celles des équations de Navier-Stokes incompressible [14].

REFERENCES [14] B.,C.; Golse, F.;  Levermore, D. Fluid Dynamic Limits of Kinetic Equations I. Formal derivations Journal of Statistical Physics   63  323-344 (1991).

__ D’après la loi de Von Karman ceci correspond à un nombre de Reynolds fini. C’est à dire, aux équations de Navier-Stokes incompressibles. Nous avons ensuite donné des résultats partiels de convergence (pour réduire les hypothèses de stabilité). Ce n’est que récemment que ce programme a été complètement achevé avec les contributions de F. Golse et L. Saint Raymond  [15].
REFERENCES [15] Golse, F., Saint-Raymond, L. The Navier-Stokes limit of the Boltzmann equation for bounded collision kernels.  Invent. Math.  155  (2004),  no. 1, 81--161.
__ Au delà de leur intérêt physique fondamentale ou mathématique les équations cinétiques jouent un rôle important dans le calcul de nombreux phénomènes impliquant des particules assez raréfiées pour ne pas être en équilibre thermodynamique. L’exemple le plus classique est la rentrée dans l’atmosphère terrestre d’un véhicule spatial. Mais les mêmes techniques mathématiques s’appliquent aussi à la neutronique, au calcul des courants dans des dispositifs si petits que la thermalisation n’a pas le temps de se produire ou enfin dans l’atmosphère entre un compact disque et sa tête de lecture.

__ A ce niveau, un des problèmes essentiels provient de la frontière du domaine. Une analyse de couche limite, utilisant la résolution du problème de Milne, permet de prendre ces effets en introduisant des conditions de glissement [16] et [17].

REFERENCES [16] B. C.   Caflisch R. and  Nicolaenko B.  The Milne  and Kramers Problem for the Boltzmann Equation of a Hard Sphere Gas Comm. in Pure and Appl. Math.  39 (1986), 323-352.
[17] B. C. ; Golse, F.; Sone, Y. Half-space problems for the Boltzmann equation: a survey.  J. Stat. Phys.  124  (2006),  no. 2-4, 275--300.

4. La limite de systèmes à N particules.
__ La difficulté essentielle (philosophique, physique et mathématique) dans la dérivation d’équations macroscopiques à partir de l’évolution réversible de particules est l’apparition de l’irréversibilité ou de l’entropie. Lorsqu’on déduit l’équation de Boltzmann d’un modèle de sphère dures, la non linéarité provient de l’interaction binaire entre ces particules et avec des convergences faibles aide à la compréhension de l’apparition de l’irréversibilité. Cet effet est absent dans les  problèmes linéaires (par exemple pour le modèle de Lorentz qui décrit l’évolution d’un gaz d’électrons dans un métal) et dans un certain sens la situation est alors plus compliquée. Les  travaux de  J. Bourgain, F. Golse, B. Wennberg [18] [19]  indiquent que dans certains cas l’introduction de l’aléatoire est indispensable.
REFERENCES [18] B. C. On the statistics of free-path lengths for the periodic Lorentz gas.  XIVth International Congress on Mathematical Physics,  439--446, World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2005.
__ Pour contribuer à la compréhension du sujet avec J. F. Colonna et F. Golse   [19] ) nous avons construit un modèle linéaire inspiré du "chat" d’Arnold pour lequel les calculs sont complètement explicites et conduisent à une description de la diffusion.
REFERENCES [19] B. C.; Colonna, J.F., Golse, F. Diffusion approximation and hyperbolic automorphism of the torus   Physica D  104 (1997), 32-60.
__ Enfin, depuis 2000, une part importante de mes activités est consacrée à l’étude des limites de systèmes quantiques dans une équipe basée à l’Institut Wolfgang Pauli à Vienne et impliquant B. Ducomet, F. Golse, A. Gottlieb, N. Mauser et S. Trabelsi. Avec une hypothèse de champ moyen ou en supposant  N grand mais fixé on dérive des équations qui sont encore réversibles.   Nous avons obtenus des résultats sur la validité des approximations de Hartree et de Hartree Fock. [20], [21] et actuellement étudions des modèles (dits de multiconfiguration) plus adaptés à des calculs en chimie moléculaire.
REFERENCES [20] Bardos, C.; Golse, F.  Mauser, Norbert J. Weak coupling limit of the  N particle Schrödinger equation. Cathleen Morawetz: a great mathematician.  Methods Appl. Anal.  7  (2000),  no. 2, 275--293.
[21] Bardos, C.; Golse, F.; Gottlieb, A. D.; Mauser, N. J. Mean field dynamics of fermions and the time-dependent Hartree-Fock equation.  J. Math. Pures Appl. (9)  82  (2003),  no. 6, 665--683.