Couplage Euler / particule

Ce sujet constitue une partie de ma thèse, effectuée à l'Université Paris Sud sous la direction de Frédéric Lagoutière. J'étudie un modèle de couplage entre un fluide non visqueux et une particule ponctuelle. Le couplage s'exprime par une force de friction qui s'exerce uniquement au point où se situe la particule et qui reflète le fait qu'en ce point, le fluide et la particule tendent à avoir la même vitesse (mais n'ont pas forcément exactement la même vitesse). On obtient un couplage entre les équations aux dérivées partielles décrivant le fluide et une équation différentielle ordinaire décrivant le mouvement de la particule. Ce couplage se traduit par un terme source s'écrivant comme un produit entre une fonction discontinue et une masse de Dirac, ce qui nécessite une définition précise et un traitement numérique particulier. Ce modèle présente notamment l'intérêt d'autoriser les collisions franches entre particules.

Le problème non couplé où la particule est immobile est également intéressant. On perd la difficulté lié au couplage EDO/EDP mais on garde celle liée au second membre. Dans ce cas, on montre qu'il y a existence et unicité au problème de Riemann (où la donnée initiale est en marche d'escalier). Voici un poster et les transparents d'une présentation contenant quelques idées de la preuve ainsi que quelques illustrations. Ce problème modélise par exemple le passage d'un gaz à travers un tampon poreux. Vous trouverez ci-dessous une simulation d'un tuyau d'orgue bouché. Le tuyau est initialement rempli d'un gaz au repos, et on impose à son entrée droite un débit constant. Le trait vertical noir représente le tampon poreux. Vous pouvez voir, de haut en bas, l'évolution de la densité, de la vitesse et de la quantité de mouvement du gaz au cours du temps.


Orgue bouché

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