| Groupe de Travail « Contrôle » |
| Séances précédentes |
| Le vendredi 10 juin 2011 |
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Résumé.
Dans cet exposé, je présenterai de manière informelle des résultats
récents obtenus avec Lucie Baudouin (LAAS, Toulouse) sur la convergence d'un problème
inverse pour les ondes.
Le problème continu est le suivant: déterminer un potentiel pour une équation des ondes à partir d'une seule mesure du flux au bord et de la connaissance des données initiales et au bord. Ce problème est aujourd'hui bien compris: ce problème inverse est bien posé au sens de Hadamard. Ce résultat est obtenu à partir d'une inégalité de Carleman locale (Yamamoto 99) ou globale (Baudouin) pour les ondes. Evidemment, ce Carleman tient compte de la propagation des ondes ou, informellement, de l'information dans le domaine considéré. Cependant, ces résultats continus ne sont pas suffisants pour justifier les simulations numériques utilisées pour calculer le potentiel. Notre but est alors d'expliquer comment prouver un tel résultat. Pour cela, nous allons utiliser une approche basée sur le lemme de Lax (consistance + stabilité => convergence). La partie la plus difficile sera celle concernant la stabilité, qui devra être montrée uniformément en le pas de maillage. Nous nous concentrerons sur ce point, que nous attaquerons à l'aide d'inégalités de Carleman discrètes. Nous en déduirons que l'ajout d'un terme de type régularisation Tychonoff permettra de résoudre de façon satisfaisante les problèmes de convergence hautes fréquences mis en évidence sur les problèmes de contrôle discret, cf Zuazua '05, dûs à des ondes hautes fréquences créées par la discrétisation qui ne se propagent pas. |
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| Résumé. In this talk we present a variation of Model Predictive Control (MPC) for systems with disturbances. Standard (non-robust) MPC is not able to cope with disturbances, thus we introduce a robust design for MPC which uses a chance-constrained approach for robust satisfaction of constraints in a probabilistic sense. We apply the controller to solve the problem of rendezvous of spacecraft, using the Hill-Clohessy-Wiltshire model and including additive disturbances and line-of-sight constraints. We will also comment on a extension that allows to include a more realistic ON-OFF model for the spacecraft thrusters. |
| Le vendredi 6 mai 2011 |
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| Résumé. Les résultats présentés ont été réalisés en collaboration avec Gengsheng Wang. On commencera par définir le "contrôle bang-bang de la chaleur". Ensuite on montrera comment le contrôle bang-bang de l'équation de la chaleur avec potentiel dans un domaine borné Ω de Rn est lié avec l'observabilité quand on observe à partir de ω×E où ω ⊂ Ω et E est un ensemble mesurable de mesure positive. Enfin on développera les outils et la stratégie permettant d'obtenir cette inégalité d'observabilité. |
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| Résumé. Dans cet exposé nous présentons un travail avec O. Traoré sur le contrôle d'une équation non linéaire de dynamique des populations où l'âge et le temps interviennent dans la diffusion de la population dans un espace donné. Dans le modèle étudié, le taux de naissance dépend naturellement de l'âge, et le contrôle est effectué dans un sous domaine par ajout ou prélèvement d'individus. La preuve de l'existence d'un contrôle approché utilise un résultat de continuation unique ainsi que le théorème de point fixe de Kakutani-Fan-Glicksberg. |
| Le vendredi 1er avril 2011 |
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| Résumé. We will survey some of the most important developments in Calderón's inverse problem which consists in determining the electrical conductivity of a medium by making voltage and current measurements at the boundary of the medium. |
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| Résumé. It is well-known that many control tasks for nonlinear systems cannot be performed effectively by using continuous feedback due to some topological obstacles. In mid 1990-s Clarke, Ledyaev, Sontag and Subbotin introduced a concept of discontinuous feedback which provides a natural mathematical model for digital computer-aided control and which is robust with respect to small perturbations of dynamics and measurement errors. In this talk we discuss some recent applications of this concept to the problem of stabilization of nonlinear control systems under persistent disturbances, to the problem of design of dynamic observers with input injection and related problems of output regulation. In addition, we demonstrate applications of discontinuous feedback to dynamic optimization problems on an example of team optimal pursuit. We also describe mathematical techniques for derivation of these results which are based on use of nonsmooth Lyapunov-like functions and methods of nonsmooth analysis. |
| Le vendredi 11 mars 2011 |
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| Résumé. Nous discuterons d'une possible démonstration de la conjecture de Mañé en topologie C^2 qui affirme en gros que l'ensemble d'Aubry d'un Hamiltonien générique est une orbite périodique ou un point d'équilibre. Notre approche consiste à utiliser des techniques de closing lemma classiques alliées a des méthodes de théorie géométrique du contrôle. Ceci est un travail en collaboration avec Alessio Figalli. |
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| Résumé. On présente un résultat général de contrôlabilité approchée pour l'équation de Schrödinger bilinéaire. On demande que l'opérateur de Schrödinger non contrôlé a spectre discret et des hypothèses de non-résonance sur le spectre qui sont moins restrictives que celles présentes dans la littérature. La méthode de contrôle est basée sur une procédure de suivi de trajectoires pour les approximations de Galerkin. Cette méthode permet d'estimer la norme L1 des lois de commande qui réalisent la contrôlabilité. Le résultat est appliqué à des exemples. |
| Le vendredi 21 mai 2010 |
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| Résumé. Nous considérons des équations d'évolution abstraites avec des termes dissipatifs non bornés et des délais. Des résultats d'existence sont obtenus sous certaines conditions réalistes. Nous proposerons des conditions suffisantes (et explicites) qui garantissent la décroissance exponentielle ou polynomiale de l'énergie. Des (nouveaux) exemples qui entrent dans notre cadre seront présentés. |
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| Résumé. Deux particules sont dits dans un état intriqué si le résultat de mesures sur l'un détermine le résultat de mesures sur l'autre. Ces états, qui ont un rôle central dans la théorie de l'information quantique, sont, en général, très difficile à obtenir en expérience. Dans cet exposé, je considère la préparation de ces états pour un système constitué de deux qubits. Je montre alors que la mesure collective de ces deux particule et le contrôle individuel de ceux-ci devrait permettre de préparer, de façon déterministe, des états intriqués arbitraires. |
| Le vendredi 19 mars 2010 |
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| Résumé. On considère une équation des ondes sur un intervalle borné. L'état initial est connu et on cherche à identifier un terme source q(x) grâce à la mesure de la dérivée Neumann à gauche, y(t) (= sortie du système). On montre que la procédure dite de “back and forth nudging” et la construction d'observateurs bien choisis permettent de retrouver q(x) en mesurant y(t) pendant le temps d'observation minimal. |
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Résumé.
L'équation de Bloch modélise un ensemble de spins, dans un champ
magnétique, avec une dispersion dans leur fréquence de Larmor. Ce système
peut être vu comme un prototype de système commandé bilinéaire, de dimension
infinie, admettant un spectre continu. On verra que l'équation de Bloch n'est pas exactement contrôlable avec des contrôles borné dans L2 mais que des contrôles non bornés (typiquement des sommes de masses de Dirac) permettent de récupérer de la contrôlabilité. Par exemple, l'équation de Bloch est - contrôlable de façon approchée, en temps fini, avec des contrôles non bornés, - exactement contrôlable en temps infini, avec des contrôles non bornés. Enfin, on presentera une loi feedback explicite qui stabilise globalement le système sur les états uniformes de spin +1/2 ou -1/2. |
| Le vendredi 19 mars 2010 |
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| Résumé. Motivé par certains systèmes linéaires couplés, nous généralisons un théorème classique du à Ingham et Beurling aux fonctions à valeurs vectorielles. Nous présentons des preuves constructives et relativement simples, et nous étudions l'optimalité des conditions du théorème. Les résultats exposés ont été obtenu en collaboration avec C. Baiocchi, P. Loreti, A. Barhoumi et M. Mehrenberger. |
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| Le vendredi 12 février 2010, dans le cadre de l'ANR CISIFS. |
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| Résumé. Cet exposé présentera l'étude d'un système couplé fluide-structure déformable. La structure déformable est une partie de la frontière dont le déplacement est modélisé par une équation des plaques de dimension finie. Le domaine contient un fluide visqueux incompressible dont le mouvement correspond aux équations de Navier-Stokes. Après avoir brièvement donné les résultats sur le caractère bien posé du système, on montrera le résultat de nulle-contrôlabilité locale par une méthode de point fixe. |
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| Résumé. On s'intéresse à un corps déformable dans un fluide parfait infini bidimensionnel en écoulement potentiel. Sous l'action de forces internes, le corps peut se déformer et agir sur le fluide qui l'environne. Par réaction, le fluide agit sur le corps. En choisissant convenablement les forces internes, le corps déformable peut se déplacer (ou nager) dans le fluide. On donnera une modélisation rigoureuse du problème (qui s'avère être bien posé dans des espaces naturels) et une idée de preuve des résultats de contrôlabilité. |
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| Résumé. Le travail présenté a été réalisé en collaboration avec S. Guerrero. Nous étudions le couplage entre un fluide visqueux compressible et une structure élastique évoluant à l'intérieur en dimension 3. L'ensemble se trouve dans une cavité fixe bornée. Le fluide est décrit par les équations de Navier-Stokes compressible et la structure est décrite par l'équation d'élasticité linéarisée. En particulier, les équations ne sont pas régularisées par des termes supplémentaires. Nous montrons l'existence locale en temps et l'unicité de solutions régulières pour ce modèle. Le résultat est prouvé en considérant tout d'abord un problème linéarisé pour lequel on montre l'existence et l'unicité de solutions régulières. La régularité est obtenue grâce à des estimations successives sur les inconnues et leurs dérivées en temps et grâce à des estimations elliptiques. Un argument de point fixe permet ensuite d'avoir l'existence et l'unicité de solution régulière du problème non linéaire. |
| Le vendredi 22 janvier 2010 |
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| Résumé. On considère le problème de temps minimal pour des systèmes affines mono-entrée avec contrainte scalaire sur le contrôle. On propose un procédé de régularisation qui consiste à ajouter, avec un paramètre epsilon de pénalisation, un certain nombre de contrôles au système, de façon à ce que les contrôles optimaux du problème de contrôle optimal pénalisé soient lisses. Sous des hypothèses appropriées, on démontre la convergence de ce procédé, et notamment la convergence forte des contrôles dans le cas bang-bang. De plus, on démontre la convergence des temps conjugués du problème lissé vers les temps conjugués bang- bang, proposant ainsi une alternative algorithmique efficace pour le calcul d'un temps conjugué dans le cas bang-bang. |
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| Résumé. On considère le système de Navier-Stokes 3D dans un domaine borné avec la condition de Dirichlet au bord. Il est bien connu que ce problème est exactement contrôlable par une force extérieure portée par un ouvert donné. Une question naturelle se pose : est-il possible de choisir un contrôle par retour d'état? Ce problème a été étudié dans le cas où la solution de référence est stationnaire, et dans cette situation la stabilisation exponentielle a été établie. On considère le cas où la solution donnée û(t,x) est non stationnaire. On construit un contrôle par retour d'état qui prend ses valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie et stabilise localement û. La démonstration est basée sur une inégalité d'observabilité tronquée, la propriété régularisante du système de Navier-Stokes et le principe de la programmation dynamique. |
| Le vendredi 13 novembre 2009 |
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| Résumé. Motivated by several examples coming from physics, biology and economics (in particular the boundary layer model represented by the so-called Crocco equation), we study the control properties of several classes of parabolic equations that do not enter into the standard framework of the Fursikov/Imanuvilov theory. For example, we consider degenerate parabolic equations with a transport/diffusion coupling or with vanishing diffusion coefficients. We also study the case of singular equations with inverse-square potential terms. |
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| Résumé. Dans cet exposé on considère un solide rigide immergé dans un fluide visqueux incompresible, le tout contenu dans un domaine borné fixe Ω de R3. Au temps initial, le solide ne touche pas le bord de Ω. Le fluide est modélisé par les équations de Navier-Stokes et le contrôle agit sur un ouvert à l'intérieur du domaine. On s'intéresse d'abord à un problème linéarisé autour d'une configuration de référence et on démontre la contrôlabilité à zéro de ce système. Grâce à un argument de point fixe, on établi la contrôlabilité locale à zero du système de départ. |
| Le vendredi 18 septembre 2009 |
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| Résumé. On s'intéresse au problème de la contrôlabilité frontière de l'équation de Kuramoto-Sivashinsky (KS) posée sur un intervalle borné. D'abord, on étudiera les propriétés de contrôle de l'équation de KS linéarisé autour de l'origine. On peut obtenir la contrôlabilité à zéro avec un seul contrôle si et seulement si le paramètre d'anti- difussion n'appartient pas à un ensemble dénombrable. Dans le cas où on linéarise autour d'une trajectoire donnée non nulle, on obtient une inégalité de Carleman qui nous donne, par dualité, le contrôle à zéro avec deux contrôles. En utilisant un argument d'inversion locale, on obtient la contrôlabilité aux trajectoires pour l'équation de KS. Ce travail a été réalisé en collaboration avec Alberto Mercado. |
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| Résumé. We discuss the Maxwell system in bounded media and boundary conditions of Silver-Muller type to obtain uniform rates of decay of the total energy. Next ,we consider a coupled elastodynamic system with Maxwell equations in a bounded (or exterior) domain with internal damping to study the uniform stabilization problem. Finally we present a result on “simultaneous” exact controllability for Maxwell equations and the elastodynamic system provided the region is “substar” like. A convenient boundary observability inequality is obtain in order to use the HUM. |
| Le vendredi 29 mai 2009 |
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| Résumé. Dans ce travail, on s'intéresse à un modèle linéarisé d'interaction fluide-stucture. Il s'agit d'un système d'équations de la chaleur et des ondes couplées par des conditions de transmission à l'interface. Le but est d'étudier la stabilité de ce système et de déterminer le taux de décroissance de l'énergie. En démontrant des inégalités de Carleman près de l'interface, on montre, sans aucune restriction géométrique, un résultat de décroissance logarithmique. |
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| Résumé. Ce travail a été réalisé en collaboration avec Christophe Prieur. Nous étudions la contrôlabilité approchée d'un système de réaction diffusion couplé à une équation différentielle ordinaire par le biais de la platitude. En effet, on approche la solution par une série dépendant d'une sortie plate, de ses dérivées et de primitives de cette sortie. On montre que la série-solution est convergente si la sortie est de type Gevrey d'ordre 1<a≤ 2 et on en déduit alors le résultat de contrôlabilité approchée dans L2. |
| Le vendredi 3 avril 2009 |
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| Résumé. On présente différents résultats de stabilisation de systèmes vibrants non linéaires en dimension finie et infinie. La rétro-action qui stabilise le système peut être frictionnelle ou de type mémoire. On s'intéresse notamment à l'obtention de taux optimaux ou quasi-optimaux de décroissance de l'énergie. Ces résultats s'appliquent à l'équation des ondes, l'élasticité, les plaques..., ainsi qu'à des modèles obtenus par discrétisation. |
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| Résumé. Ceci est un travail en collaboration avec O. Imanuvilov et M. Yamamoto. Nous donnons une estimation de Carleman pour des équations de type chaleur avec conditions au bord non homogènes. Ce résultat étend les résultat correspondant obtenu il y a quelques années pour des équations elliptiques. Comme applicatin de ces deux résultats, on peut obtenir de manière simple une estimation de Carleman globale pour le problème de Stokes, estimation qui est essentielle pour l'étude de la contrôlabilité à zéro. |
| Le vendredi 13 mars 2009 |
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| Résumé. On s'intéresse au problème de la stabilisation interne de l'équation de KdV en domaine périodique. On établit une stabilisation exponentielle dans tous les bornés de Hs pour s positif. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Camille Laurent et Bing-Yu Zhang. |
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| Résumé. Je parlerai de la contrôlabilité lagrangienne approchée de l'équation d'Euler bidimensionnelle qui étudie la possibilité de contrôler le déplacement d'une partie d'un fluide. L'exposé sera majoritairement consacré à des résultats en commun avec Olivier Glass. Je présenterai également quelques embryons de simulations numériques. |
| Le vendredi 6 février 2009 |
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| Résumé. Nous présenterons dans cet exposé comment une inégalité de Carleman globale peut être utilisée pour démontrer la stabilité d'un problème inverse posé sur l'équation de Schrödinger en domaine borné. Les travaux évoqués sont le fruits de collaborations avec J.-P. Puel et A. Mercado. Nous nous focaliserons sur la preuve de la stabilité locale du problème inverse de détermination d'un potentiel à partir de mesures de Neumann sur le bord du domaine. Nous évoquerons la méthode sur le modèle plus simple de l'équation de Schrödinger avec coefficient principal constant et donnée de Dirichlet sur le bord, avant de présenter le résultat plus récent concernant un problème dit de transmission (coefficient principal discontinu). |
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| Résumé. L'exposé concernera la contrôlabilité interne pour l'équation de Schrödinger non linéaire sur un intervalle borné. La stratégie combine la stabilisation et la contrôlabilité locale près de 0. On montrera comment ces résultats peuvent être obtenus grâce à la propagation de la régularité et de la compacité. De plus, le contrôle obtenu a la même régularité que les données, avec seulement une hypothèse de taille en norme L2. |
| Le vendredi 16 janvier 2009 |
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| Résumé. Dans cet exposé, on s'intéressera à la question de la contrôlabilité aux trajectoires de n équations paraboliques couplées par m contrôles localisés en espace. Malgé l'intérêt évident de cette question, en particulier en modélisation de la biologie où le contrôle est une thérapie, on dispose de très peu de résultats et presque tous concernent le cas de 2 équations couplées. Avec F. Ammar Khodja, C. Dupaix et M. Gonzales-Burgos, nous venons d'obtenir un premier résultat pour une classe (très restrictive) de n équations. La contrôlabilité approchée reste aussi un problème globalement ouvert. |
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| Résumé. Dans cet exposé je vais présenter un résultat de contrôle pour l'équation de la chaleur pour un problème de transmission. Ce résultat a été obtenu en collaboration avec Jérôme Le Rousseau. Nous obtenons une inégalité de Carleman du type de celle démontrée par Fursikov et Imanuvilov qui permet de prouver des résultats de contrôle pour des équations de la chaleur semi-linéaire. Nous essaierons de donner une idée de la méthode utilisée en traitant des exemples techniquement plus simple que ce qui est réellement fait dans notre travail mais qui contiennent le même type de difficultés. |
| Le vendredi 12 décembre 2008 |
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| Résumé. On définira dans cet exposé une notion de stabilité non-uniforme pour un semi-groupe borné fortement continu sur un espace de Banach, généralisant les notions déjà connues de stabilités exponentielle, polynomiale et logarithmique. On donnera également une caractérisation de ce type de stabilité par le spectre du générateur du semi-groupe, ainsi qu'une estimation du taux de décroissance du semi-groupe en fonctions de la croissance de la résolvante du générateur sur l'axe imaginaire pur. (Avec Charles Batty) |
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| Résumé. Nous considérons un système couplant les équations de Stokes à une structure déformable élastique décrite par un système de dimension finie. Nous montrons que le système est contrôlable à zéro par un contrôle agissant uniquement dans l'équation du fluide. La preuve est basée sur une inégalité de Carleman globale. Le couplage entre les équations du fluide et de la structure fait apparaître des termes frontières dans l'inégalité de Carleman dont l'estimation requiert des techniques nouvelles. Ce travail a été effectué en collaboration avec M. Vanninathan (TIFR, Bangalore). |
| Le vendredi 14 novembre 2008 |
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Résumé.
A standard Volterra-like series in nonlinear control is the Chen-Fliess
series which is known to be an exponential Lie series. Previously,
explicit formulas for the iterated integral coefficients were known
only for its factorization into a directed infinite product of
exponentials. That factorization uses Hall sets and the Zinbiel product. We use the underlying Hopf algebra structure to derive explicit formulas for the corresponding coefficients in the logarithm of the series. This allows one to express the series as a single exponential. This work is closely related to Fer and Magnus expansions, and has interpretations in terms of a continuous Campbell-Baker-Hausdorff formula. The result is expected to facilitate work in nonlinear control, numerical integration and various applications that involve compositions of noncommuting flows. |
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| Résumé. Nous présentons quelques résultats récents sur des critères de Hautus en dimension infinie et leurs applications aux systèmes gouvernés par des EDP. L'essentiel de l'exposé traitera le cas d'un générateur anti-adjoints, où on démontrera un critère utilisant la décomposition de l'espace des états dans des hautes et de basses fréquences. Les résultats généraux seront appliqués aux équations de type Schrödinger et au modèle de Helmholtz d'interaction fluide-structure. |