Conservative cross diffusions and pattern formation through relaxation

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Résumé: Nous considérons un système de type parabolique avec diffusion croisée et sans terme de réaction mais dont la matrice de 'diffusion' peut être négative, avec toutefois des termes diagonaux positifs. Notre but est d'y étudier la formation de zones de sélection (patchs). Nous démontrons l'existence pour des données petites et des estimations globales dans des espaces de Lebesgue en espace-temps pour une très grande classe de matrices de 'diffusion', ce qui montre que l'explosion doit se produire sur le gradient de la solution. Cette question peut-être abordée en introduisant un système de relaxation avec des solutions globales pour lequel nous prouvons également des bornes uniformes. Nos démonstrations utilisent un argument de dualité introduit par M. Pierre que nous généralisons pour traiter des diffusions dégénérées et à fortes croissances.

Nous analysons également la stabilité linéaire du système de relaxation et montrons qu'un mécanisme de Turing peut apparaître. Ceci permet de calculer les paramètres et la taille des données conduisant à un régime instable. Des simulations numériques valident ces résultats théoriques et montrent que la solution forme des zones où une espèce domine avec des gradients importants mais les solutions restent bornées.

Abstract : This paper is aimed at studying the formation of patches in a cross-diffusion system without reaction terms when the diffusion matrix can be negative but with positive self-diffusion. We prove existence results for small data and global a priori bounds in space-time Lebesgue spaces for a large class of 'diffusion' matrices. This result indicates that blow-up should occur on the gradient. One can tackle this issue using a relaxation system with global solutions and prove uniform a priori estimates. Our proofs are based on a duality argument la M. Pierre which we extend to treat degeneracy and growth of the diffusion matrix.

 We also analyze the linearized instability of the relaxation system and a Turing type mechanism can occur. This gives the range of parameters and data for which instability may occur. Numerical simulations show that patterns arise indeed in this range and the solutions tend to exhibit patches with stiff gradients on bounded solutions, in accordance with the theory.

Mots Clés:

Keywords: Cross-diffusions; Duality method; Turing instability; Patch formation.

Date2009-10-14