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Résumé: Nous démontrons l'existence d'une solution au sens des distributions pour un problème elliptique avec un terme d'ordre inférieur qui dépend de façon singulière de la solution u et de façon quadratique de son gradient Du. Le prototype du problème que nous considérons est
– Δu + λu = ± |Du |2 / |u|k + ƒ dans Ω, u = 0 sur ∂Ω,
où λ > 0, k > 0, ƒ
∈ L∞(Ω), ƒ(x) &ge 0 (de sorte que u ≥ 0). Si 0 < k < 1, nous prouvons l'existence d'une solution pour les signes “+” et “-”, alors que si k ≥1, nous ne prouvons l'existence d'une solution que pour le signe “+”.
Abstract : We prove the existence of distributional solutions to an elliptic
problem with a lower order term which depends on the solution u in a singular way and
on
its gradient Du with quadratic growth. The prototype of the problem under
consideration
is
– Δu + λu = ± |Du |2 / |u|k + ƒ in Ω, u = 0 on ∂Ω,
where λ > 0, k > 0, ƒ ∈ L∞(Ω), ƒ(x) ≥ 0 (and so u ≥ 0). If 0 < k < 1, we prove the existence of a solution for both the “+” and the “-” signs, while if k ≥ 1, we prove the existence of a solution for the “+” sign only.
Mots Clés: ;
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