Optimally adapted finite elements meshes

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Résumé: Etant donnée une fonction f définie sur un domaine borné de R2 et un entier N, nous étudions les propriétés de la triangulation TN qui minimise la distance entre f et son interpolation sur l'espace d'éléments finis associés, parmi toutes les triangulations comportant au plus N éléments. L'erreur est étudiée dans la norme Lp pour 1≤ p ≤ ∞ et nous considérons des éléments finis de Lagrange de degré arbitraire m-1. Nous prouvons des estimations d'erreur asymptotiquement optimales lorsque N → ∞ et lorsque la triangulation optimale est utilisée. Ces estimations s'appuient sur des polynômes invariants appliqués aux dérivées d'ordre m de f. De plus, notre analyse fournit des stratégies pratiques pour construire des maillages vérifiant cette estimation d'erreur multipliée par une constante multiplicative fixée. Nous étendons partiellement nos résultats aux plus grandes dimensions, pour des maillages simpliciaux d'un domaine inclus dans Rd.

Abstract: Given a function f defined on a bounded bidimensional domain and a number N, we study the properties of the triangulation TN that minimizes the distance between f and its interpolation on the associated finite element space,over all triangulations of at most N elements.The error is studied in the Lp norm for 1≤ p ≤ ∞ and we consider Lagrange finite elements of arbitrary polynomial order m-1. We establish sharp asymptotic error estimates as N → ∞ when the optimal anisotropic triangulation is used. These estimates involve invariant polynomials applied to the m-th order derivatives of f. In addition, our analysis also provides with practical strategies for designing meshes such that the interpolation error satisfies the optimal estimate up to a fixed multiplicative constant. We partially extend our results to higher dimensions for finite elements on simplicial partitions of a higher-dimensional domain.

Mots Clés:  Anisotropic finite elements; Adaptive meshes; Interpolation; Nonlinear approximation

Date2009-03-18