• Dominique BLANCHARD
• Georges GRISO

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Résumé: Dans cet article nous introduisons une décomposition des déformations d'une poutre courbe mince, d'épaisseur δ, qui tient compte de la géométrie de cette poutre. Une déformation V est la somme d'une déformation élémentaire et d'un gauchissement. La déformation élémentaire est l'analogue d'un déplacement de Bernoulli-Navier en l'élasticité linéaire. Nous remplaçons la rotation infinitésimale des sections droites par une rotation appartenant à SO(3). Chaque terme de cette d'composition est estimé à l'aide de la norme L² de la distance du gradient de v à SO(3). Pour obtenir ces résultats, nous revisitons le théorème de rigidité de Friesecke-James-Müller pour un domaine borné et étoilé par rapport à une boule en donnant un majorant de la constante. Ensuite, nous utilisons cette décomposition pour obtenir plusieurs modèles géométriques limites: grandes déformations de type extensionnel, déformations inextensionnelles ou déformations linéarisées. Enfin nous appliquons notre technique de décomposition en élasticité non linéaire. Pour différents ordres de grandeur des forces appliquées, nous calculons la Γ-limite de l'énergie d'un matériau de St Venant-Kirchhoff. Des forces de flexion d'ordre δ² donnent un modèle non linéaire inextensionnel. Des forces de flexion plus petites conduisent au modèle de poutre linéaire. Des forces de flexion et d'extension, d'ordre δ² en traction-compression et d'ordre δ³  en flexion donnent un modèle flexion-extension couplé.

Abstract: This paper deals with the introduction of a decomposition of the deformations of curved thin beams, with section of order δ, which takes into account the specific geometry of such beams. A deformation V is split into an elementary deformation and a warping. The elementary deformation is the analog of a Bernoulli-Navier's displacement for linearized deformations replacing the infinitesimal rotation by a rotation in SO(3) in each cross section of the rod. Each part of the decomposition is estimated with respect to the L² norm of the distance from gradient v to SO(3). This result relies on revisiting the rigidity theorem of Friesecke-James-Mü in which we estimate the constant for a bounded open set star-shaped with respect to a ball. Then we use the decomposition of the deformations to derive a few asymptotic geometrical behavior: large deformations of extensional type, inextensional deformations and linearized deformations. To illustrate the use of our decomposition in nonlinear elasticity, we consider a St Venant-Kirchhoff material and upon various scaling on the applied forces we obtain the Γ-limit of the rescaled elastic energy. We first analyze the case of bending forces of order δ² which leads to a nonlinear inextensional model. Smaller pure bending forces give the classical linearized model. A coupled extensional-bending model is obtained for a class of forces of order δ² in traction and of order δ³ in bending.

Mots Clés: Nonlinear elasticity; Linear elasticity; Γ-Convergence; Rods, Unfolding methods; 2000 MSC: 74B20; 74B05; 74K10; 49J45; 35A15

Date: 2008-05-06