The never before published complete proofs of the optimal bounds for the mixture of two anisotropic conducting materials in two dimensions

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Résumé: Nous donnons ici une démonstration détaillée du résultat annoncé il y a vingt ans dans notre article "Optimal bounds for conduction in two-dimensional, two-phase, anisotropic media" du livre "Non-classical continuum mechanics (Proceedings, Durham 1986)" publié sous la direction de R.J. Knops & A.A. Lacey (London Mathematical Society Lecture Notes 122, Cambridge University Press, Cambridge, 1987, pp. 197-212), à savoir la caractérisation en dimension 2 de l'ensemble des conductivités effectives qui peuvent être obtenues en mélangeant deux matériaux conducteurs anisotropes dont les orientations sont arbitraires.
Nous donnons aussi une démonstration détaillée d'un autre résultat que nous avons également annoncé dans ce même article, à savoir la caractérisation en dimension 2 des ensembles de matériaux conducteurs qui sont stables par H-convergence quand la définition de l'ensemble ne dépend pas de l'orientation des matériaux.

Abstract: We provide here a complete proof of the result announced twenty years ago in our paper "Optimal bounds for conduction in two-dimensional, two-phase, anisotropic media" published in the book "Non-classical continuum mechanics (Proceedings, Durham 1986)" edited by R.J. Knops & A.A. Lacey (London Mathematical Society Lecture Notes 122, Cambridge University Press, Cambridge, 1987, pp. 197-212), namely the characterization in two dimensions of the set of the effective conductivities obtained by mixing two anisotropic conducting materials with arbitrary orientation.
We also provide a complete proof of the characterization (also already announced in the same paper) of the sets of conducting materials with arbitrary orientation which are stable under H-convergence in two dimensions.

Mots Clés: Homogenization, H-convergence, Optimal bounds, Conductivity, Anisotropy.

Date: 2008-04-30