Guaranteed and robust a posteriori error estimates for singularly perturbed reaction diffusion problems

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Résumé: Nous établissons, pour des problèmes de réaction-diffusion singulièrement perturbés, des estimations d'erreur a posteriori qui donnent une borne supérieure garantie de l'erreur de discrétisation et qui sont entièrement et facilement calculables. Elles sont de plus localement efficaces et robustes dans le sens où elles constituent une borne inférieure locale de l'erreur exacte, à une constante multiplicative, indépendante du coefficient de réaction près. Nous présentons nos résultats dans le cadre de la méthode des volumes finis centrés par maille mais leur portée est générale et s'étend aux autres méthodes conformes comme celle des éléments finis linéaires par morceaux. Nos estimations sont basées sur une reconstruction H(div)-conforme du flux diffusif dans l'espace de Raviart-Thomas de plus bas degré lié au maillage dual du maillage initial de triangles ou de tétraèdres, introduite précédemment par le dernier auteur dans le cas de la diffusion pure. Pour bien prendre en compte la dominance éventuelle du terme de réaction, elles utilisent ensuite des estimations fines basées sur des inégalités de traces et de Poincaré-Friedrichs. Enfin, afin que le rapport entre l'erreur estimée et l'erreur exacte soit aussi proche que possible de la valeur optimale de un, et ce indépendamment de la valeur du coefficient de réaction, nous mettons en œuvre des techniques de minimisation locale des estimateurs en modifiant localement le flux diffusif reconstruit. Les essais numériques présentés confirment la borne supérieure garantie, la robustesse et l'excellente efficacité des estimations établies.

Abstract: We derive a posteriori error estimates for singularly perturbed reaction diffusion problems which yield a guaranteed upper bound on the discretization error and are fully and easily computable. Moreover, they are also locally efficient and robust in the sense that they represent local lower bounds for the actual error, up to a generic constant independent in particular of the reaction coefficient. We present our results in the framework of the vertex-centered finite volume method but their nature is general for any conforming method, like the piecewise linear finite element one. Our estimates are based on a H(div)-conforming reconstruction of the diffusive flux in the lowest-order Raviart-Thomas space linked with mesh dual to the original simplicial one, previously introduced by the last author in the pure diffusion case. They also rely on elaborated Poincaré, Friedrichs, and trace inequalities-based auxiliary estimates designed to cope optimally with the reaction dominance. In order to bring down the ratio of the estimated and actual overall energy error as close as possible to the optimal value of one, independently of the size of the reaction coefficient, we finally develop the ideas of local minimizations of the estimators by local modifications of the reconstructed diffusive flux. The numerical experiments presented confirm the guaranteed upper bound, robustness, and excellent efficiency of the derived estimates.

Mots Clés: vertex-centered finite volume/finite volume element/box method; singularly perturbed reaction diffusion problem; a posteriori error estimates; guaranteed upper bound; robustness

Date: 2008-04-01