An introduction to shell theory

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Résumé: Ces notes sont destinées à fournir une introduction détaillée à la théorie mathématique des coques élastiques. L'objectif principal de la théorie des coques est de prédire les contraintes et les déplacements survenant dans une coque élastique en réponse à des forces appliquées. Une telle prédiction est faite soit en résolvant un système d'équations aux dérivées partielles, soit en minimisant une fonctionnelle, qui peuvent être définis soit dans un ensemble tridimensionnel, soit dans un ensemble bidimensionnel, selon que la coque est vue dans sa configuration de référence comme un corps tridimensionnel ou comme un corps bidimensionnel (ce dernier étant alors une idéalisation de la coque physique lorsque son épaisseur est "petite"). La première partie de cet article est consacrée à la théorie tridimensionnelle des corps élastiques, à partir de laquelle la théorie tridimensionnelle des coques est obtenue en remplaçant simplement la configuration de référence d'un corps élastique général par celle d'une coque. La forme particulière de la configuration de référence d'une coque ne joue aucun rôle dans cette théorie. La deuxième partie de cet article est consacrée à la théorie bidimensionnelle des coques élastiques. Contrairement à la théorie tridimensionnelle, cette théorie est spécifique aux coques, puisqu'elle dépend de façon essentielle de la géométrie de la configuration de référence de la coque. Pour un exposé plus complet de la théorie de coques élastiques, nous renvoyons le lecteur à Ciarlet [18] et ses références pour la première partie de cet article, et à Ciarlet [20] et ses références pour la deuxième.


Abstract: These notes are intended to provide a thorough introduction to the mathematical theory of elastic shells. The main objective of shell theory is to predict the stress and the displacement arising in an elastic shell in response to given forces. Such a prediction is made either by solving a system of partial differential equations or by minimizing a functional, which may be defined either over a three-dimensional set or over a two-dimensional set, depending on whether the shell is viewed in its reference configuration as a three-dimensional or as a two-dimensional body (the latter being an abstract idealization of the physical shell when its thickness is "small"). The first part of this article is devoted to the three-dimensional theory of elastic bodies, from which the three-dimensional theory of shells is obtained simply by replacing the reference configuration of a general body with that of a shell. The particular shape of the reference configuration of the shell does not play any role in this theory. The second part is devoted to the two-dimensional theory of elastic shells. In contrast to the three-dimensional theory, this theory is specific to shells, since it essentially depends on the geometry of the reference configuration of a shell. For a more comprehensive exposition of the theory of elastic shells, we refer the reader to Ciarlet [18] and the references therein for the first part of the article, and to Ciarlet [20] and the references therein for the second part.

Mots Clés: Elasticity; Shell theory

Date: 2008-03-16