Quadratic Optimization in Ill-Posed Problems

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Résumé: L'optimisation quadratique mal posée intervient souvent en théorie de contrôle et dans les problèmes inverses. Typiquement, des petites imprécisions sur les données produisent de grandes oscillations sur la solution. Nous examinons les conditions nécessaires pour que la fonction coût soit minorée, y compris en l'absence de solution. Nous explorons les liens implicites entre le problème d'optimisation et la méthode des moindres carrés. Quelques exemples, issus du contrôle optimal et de la complétion de données, illustrent l'apport de notre étude dans la compréhension des propriétés des problèmes quadratiques mal posés. Les résultats que nous établissons, et spécialement la possibilité de donner à la fonction coût la forme des moindres carrés, permettent une amélioration de l'analyse des méthodes de régularisation appliquées à ce type de problèmes mal posés.

Abstract: Ill posed quadratic optimization frequently occurs in control and inverse problems and are not covered by the Lax-Milgram-Riesz theory. Typically small changes in the input data can produce very large oscillations on the output. We investigate the conditions under which the minimum value of the cost function is finite and we explore the ‘hidden connection’ between the optimization problem and the least-squares method. Eventually, we address some examples coming from optimal control and data completion, showing how relevant our contribution is in the knowledge of what happens for various ill-posed problems. The results we state bring a substantial improvement to the analysis of the regularization methods applied to the ill-posed quadratic optimization problems.

Mots Clés: Quadratic optimization; least-squares; ill-posedness; Picard's principle; optimal control; data completion.

Date: 2008-03-14