• Martin VOHRALIK

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Résumé: Nous étudions dans cet article des estimations d'erreur a posteriori pour des approximations H¹-conformes de problèmes à diffusion pure avec un coefficient de diffusion scalaire, constant par morceaux et arbitrairement discontinu. Nous obtenons des estimateurs d'erreur pour la norme de l'énergie qui fournissent une borne supérieure garantie au sens où ils ne comportent pas de constantes indéterminées. Des bornes inférieures locales, à une constante multiplicative près, indépendante du coefficient de diffusion, sont également obtenues. En particulier, aucune condition sur le coefficient de diffusion comme sa croissance monotone autour des sommets du maillage n'est requise et par conséquent, nos résultats sont entièrement robustes et comprennent aussi des cas avec des solutions singulières. La condition cruciale est que le coefficient de diffusion est constant par morceaux sur des volumes duaux associés aux sommets de la triangulation et que les moyennes harmoniques sont utilisées dans la définition du schéma. Cette condition est classique par exemple dans la méthode des volumes finis centrés par maille, incluse dans notre analyse ainsi que la méthode des volumes finis centrés par sommet, la méthode des différences finies, et la méthode des éléments finis linéaires par morceaux. Nos estimations comportent deux types d'estimateurs. L'un compare le flux de la solution discrète linéaire par morceaux avec un flux reconstruit H(div)-conforme et l'autre est un estimateur du résidu amélioré. Nos estimations sont basées sur la conservativité locale de toutes les méthodes étudiées sur des maillages duaux, rappelée dans l'article ainsi que leurs relations mutuelles. Les essais numériques confirment la borne supérieure garantie, la robustesse et une efficacité excellente des estimations présentées, laquelle peut encore être améliorée par une minimisation locale avec un coût de calcul négligeable.

Abstract: We study in this paper a posteriori error estimates for H¹-conforming numerical approximations of diffusion problems with a scalar, piecewise constant, and arbitrarily discontinuous diffusion coefficient. We derive estimators for the energy norm which give a guaranteed global upper bound in the sense that they feature no undetermined constants. Local lower bounds, up to constants independent of the diffusion coefficient, are also derived. In particular, no condition on the diffusion coefficient like its monotonous increasing along paths around mesh vertices is imposed, whence the present results are fully robust and include also the cases with singular solutions. The key requirement turns out to be that the diffusion coefficient is piecewise constant on dual cells associated with the vertices of an original simplicial mesh and that harmonic averaging is used in the numerical scheme definition. This is the usual case, e.g., for the cell-centered finite volume method, included in our analysis as well as the vertex-centered finite volume, finite difference, and continuous piecewise linear finite element ones. Our estimates consist of two estimators, one comparing a reconstructed H(div)-conforming diffusive flux with the diffusive flux given by the piecewise linear representation of the approximate solution and one representing an improved residual. They are based on the local conservativity of all the studied methods on the dual grids, which we recall in the paper, as well as their mutual relations. Numerical experiments confirm the guaranteed upper bound, full robustness, and excellent efficiency of the presented estimators, which may still be improved by a negligible-cost local minimization.

Mots Clés: finite volume method; finite element method; finite difference method; discontinuous coefficients; harmonic averaging; a posteriori error estimates; guaranteed upper bound; robustness

Date: 2008-02-04