Entropy-satisfying relaxation method with large time-steps for Euler IBVPs

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Résumé: Cet article pourrait s'intituler "comment résoudre les équations d'Euler avec un schéma positif et implicite en utilisant uniquement des advections scalaires linéaires." La nouvelle méthode de relaxation que nous proposons permet de résoudre à très faible coût des systèmes du type Euler avec des conditions limites et initiales et des lois d'état réalistes. Nous utilisons pour cela une intégration en temps hybride explicite-implicite, associée à un formalisme ALE. De plus notre méthode jouit de plusieurs propriétés enviables : (i) Préservation de la positivité des densités, (ii) garantie du principe du maximum pour les fractions massiques, (iii) vérification de l'inégalité d'entropie sous condition CFL explicite. La détermination de ce pas de temps optimal, prenant en compte non seulement les données initiales mais aussi les conditions limites est la principale nouveauté de cet article.

Abstract: This paper could have been given the title: "How to positively and implicitly solve Euler equations using only linear scalar advections." The new relaxation method we propose is able to solve Euler-like systems ---as well as initial and boundary value problems--- with real state laws at very low cost, using a hybrid explicit-implicit time integration associated with the Arbitrary Lagrangian-Eulerian formalism. Furthermore, it enjoys many desirable properties, such as: (i) the preservation of positivity for densities; (ii) the guarantee of min-max principle for mass fractions; (iii) the satisfaction of entropy inequality, under an expressible bound on the CFL ratio. The design of this optimal time-step, which takes into account data not only from the inner domain but also from the boundary conditions, is the main novel feature we emphasize on.

Mots Clés: Euler equations ; multiphase flow ; initial boundary value problems ; explicit-implicit ; relaxation methods ; Lagrange-projection ; entropy-satisfying ; positivity-preserving

Date: 2008-01-23