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Résumé: Nous proposons un nouvel algorithme pour approcher les solutions non classiques de lois de conservation hyperboliques. Le schéma aux différences finies presenté ici est conservatif et transporte de manière exacte les chocs non classiques, à la différence des algorithmes standard. La principale difficulté est de garantir, au niveau discret, la consistance avec une relation cinétique qui est une donnée du problème. Celle-ci permet de sélectionner des chocs non classiques physiques. Notre méthode est basée sur une technique de reconstruction de l'inconnue dans chaque maille où une discontinuité non classique est susceptible de se trouver. Nous validons cette approche en établissant des propriétés de consistance et de stabilité ainsi qu'en effectuant des expériences numériques. La convergence de la solution numérique vers la solution physique selectionnée par la relation cinétique prescrite est démontrée numériquement sur plusieurs cas-tests, pour des flux concave-convexes et convexe-concaves.
Abstract: We propose a new numerical approach to compute nonclassical solutions to hyperbolic conservation laws. The class of finite difference schemes presented here is fully conservative and keep nonclassical shock waves as sharp interfaces, contrary to standard finite difference schemes. The main challenge is to achieve, at the discretization level, a consistency property with respect to a prescribed kinetic relation. The latter is required for the selection of physically meaningful nonclassical shocks. Our method is based on a reconstruction technique performed in each computational cell that may contain a nonclassical shock. To validate this approach, we establish several consistency and stability properties, and we perform careful numerical experiments. The convergence of the algorithm toward the physically meaningful solutions selected by a kinetic relation is demonstrated numerically for several test cases, including concave-convex as well as convex-concave flux-functions.
Mots Clés: Concave-convex conservation laws; kinetic relations; conservative schemes; reconstruction schemes
Date: 2007-12-18