• Alain HARAUX
• Tien Son PHAM

Code(s) de Classification MSC:

Code(s) de Classification CR:

Résumé: Soit ${\Bbb K}$ le corps des réels ou des complexes et $f \colon {\Bbb K}^n \rightarrow {\Bbb K}$ un polynôme quasi-homogène de poids $w := (w_1, w_2, \ldots, w_n)$ et de degr\' e $d$ tel que ${\nabla} f(0) = 0.$ L'inégalité bien connue dite du gradient de Lojasiewicz montre qu'il existe un voisinage ouvert $U$ de l'origine dans ${\Bbb K}^n$ et deux constantes positives $c$ et $\rho < 1$ telles que pour tout $x \in U$ on ait $\|{\nabla} f(x) \| \ge c |f(x)|^\rho.$ On montre que si l'ensemble $\widetilde{K}_\infty(f)$ des points où la condition de Fedoryuk est en défaut est fini, l' inégalité du gradient de \L ojasiewicz est vérifiée avec $\rho =1 - \min_{j} \frac{w_j}{d}.$ On montre de plus que si $n = 2,$ alors $\widetilde{K}_\infty(f)$ est soit vide, soit réduit à $\{0\}.$

Abstract: Let ${\Bbb K}$ be the real or the complex field, and let $f \colon {\Bbb K}^n \rightarrow {\Bbb K}$ be a quasi-homogeneous polynomial with weight $w := (w_1, w_2, \ldots, w_n)$ and degree $d.$ Assume that ${\nabla} f(0) = 0.$ The well known Lojasiewicz's gradient inequality states that there exists an open neighbourhood $U$ of the origin in ${\Bbb K}^n$ and two positive constants $c$ and $\rho < 1$ such that for any $x \in U$ we have $\|{\nabla} f(x) \| \ge c |f(x)|^\rho.$ We prove that if the set $\widetilde{K}_\infty(f)$ of points where the Fedoryuk condition fails to hold is finite, then the gradient inequality holds true with $\rho =1 - \min_{j} \frac{w_j}{d}.$ It is also shown that if $n = 2,$ then $\widetilde{K}_\infty(f)$ is either empty or reduced to $\{0\}.$

Mots Clés: quasi-homogeneous ; Lojasiewicz's gradient inequality ; Lojasiewicz exponent ; Fedoryuk's condition

Date: 2007-12-18