An extension of Oleinik's inequality for general 1-D scalar conservation laws

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Résumé: Nous établissons une inégalité d'Oleinik pour les solution d'entropie $BV$ de lois de conservation scalaires générales en dimension $1$ d'espace :$$u_t + (f(u))_x=0 \text{ pour } (t,x) \in \R^+ \times \R.$$ Cette inégalité s'écrit de la manière suivante : pour $x \leq y$ et $t>0$, on a :$$ f'(u(t,y)) - f'(u(t,x)) \leq \frac{y-x}{t} + \sqrt{\| (f'')_{-} \|_{\infty} \| (f'')_{+} \|_{\infty}} \Big( TV(u(0,\cdot)) - TV(u(t,\cdot)) \Big).$$ Cette inégalité contient l'inégalité d'Oleinik classique pour des flux convexes ; en particulier, des flux presque convexes ou presque concaves engendrent des solutions qui satisfont presque l'inégalité d'Oleinik, sous une certaine forme. Nous montrons également que cette inégalité n'est pas satisfaite en général lorsqu'on remplace le facteur $\sqrt{\| (f'')_{-} \|_{\infty} \| (f'')_{+} \|_{\infty}}$ par $\| (f'')_{-} \|_{\infty}$ ou par $\| (f'')_{+} \|_{\infty}$.

Abstract: We establish an Oleinik-type inequality concerning $BV$ entropy solutions of general scalar conservation laws in one dimension: $$u_t + (f(u))_x=0 \text{ for } (t,x) \in \R^+ \times \R.$$ This inequality reads, for $x \leq y$ and $t>0$:$$ f'(u(t,y)) - f'(u(t,x)) \leq \frac{y-x}{t} + \sqrt{\| (f'')_{-} \|_{\infty} \| (f'')_{+} \|_{\infty}} \Big( TV(u(0,\cdot)) - TV(u(t,\cdot)) \Big).$$ This contains Oleinik's inequality for convex fluxes; in particular, almost convex and almost concave fluxes yield solutions that almost satisfy Oleinik's estimate. We also show that this inequality is not satisfied in general when one replaces the factor $\sqrt{\| (f'')_{-} \|_{\infty} \| (f'')_{+} \|_{\infty}}$ with $\| (f'')_{-} \|_{\infty}$ or with $\| (f'')_{+} \|_{\infty}$.

Mots Clés: Lois de conservation; inégalité d'Oleinik; algorithme de suivi de fronts

Date: 2007-12-18