• Alexandre ERN
• Annette F. STEPHANSEN
• Martin VOHRALÍK

Code(s) de Classification MSC:

Code(s) de Classification CR:

Résumé: Nous proposons et étudions une nouvelle approche pour l'estimation d'erreur a posteriori résiduelle dans la méthode de Galerkin discontinue. L'idée principale, qui porte sur la reconstruction d'un flux H(div)-conforme dans l'espace de Raviart-Thomas en utilisant les flux conservatifs de la méthode de Galerkin discontinue, est d'abord exposée pour un problème elliptique d'ordre deux de diffusion pure. Dans ce cas, le résidu classique peut être transformé en un terme de degré élevé (parfois considéré séparément et nommé "terme d'oscillation des données"), tirant ainsi parti des degrés de liberté dans chaque élément disponibles dans la méthode de Galerkine discontinue. De plus, l'estimateur classique des sauts des gradients normaux est simultanément remplacé par une comparaison entre le flux de la solution discrète et le flux reconstruit. Enfin, notre borne sur l'erreur contient un dernier estimateur qui mesure la non conformité de la solution discrète en comparant celle-ci à son interpolé de Oswald. Dans la deuxième partie du papier, nous étendons nos résultats aux problèmes de convection-diffusion-réaction, en introduisant une reconstruction supplémentaire du flux convectif. Nos estimations sont basées sur une borne abstraite qui est fine, car établie pour des reconstructions arbitraires conformes de la solution discrète et de ses flux diffusifs et convectifs. Ces estimations fournissent une borne supérieure garantie de l'erreur car toutes les constantes sont explicitées, elles sont localement efficaces, elles produisent des minorations locales des estimations classiques par résidu et les essais numériques présentés à la fin du papier confirment leur précision et leur robustesse. Par ailleurs, les reconstructions des flux diffusifs et convectifs H(div)-conformes dans l'espace de Raviart-Thomas ont leur propre intérêt.

Abstract: We propose and study a new approach to residual a posteriori error estimation in the discontinuous Galerkin finite element method. The main idea, which consists of constructing an H(div)-conforming Raviart-Thomas flux on the basis of the conservative discontinuous Galerkin side fluxes, is first exposed for a pure diffusion second-order elliptic problem. In this case, the classical elementwise residual can be transformed into a higher-order term (sometimes considered separately and called "data oscillation term"), thus fully taking advantage of the spectral degrees of freedom within each element available in the discontinuous Galerkin method. Moreover, the classical estimator based on normal gradient jumps is simultaneously replaced by a comparison of the original and reconstructed diffusive fluxes. Finally, our error bound consists of one last estimator which measures the nonconformity of the actual discrete solution by comparing it to its so-called Oswald interpolate. In the second part of the paper, we extend our results to convection-diffusion-reaction problems, where we introduce an additional convective flux reconstruction. Our estimators are based on an abstract upper bound which is sharp since it is established for arbitrary conforming reconstructions of the discrete solution itself and of its diffusive and convective fluxes. They yield a guaranteed upper bound since all constants are evaluated, are locally efficient, represent local lower bounds of the classical residual estimators, and numerical examples presented at the end of the paper confirm their accuracy and robustness. Incidentally, the H(div)-conforming Raviart-Thomas diffusive and convective flux reconstructions are of independent interest.

Mots Clés: convection-diffusion-reaction equation; inhomogeneous and anisotropic diffusion; convection dominance; discontinuous Galerkin finite element method; a posteriori error estimates

Date: 2007-11-14