• Alain HARAUX
• Mitsuharu ÔTANI

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Résumé: On étudie la conservation de la régularité et l'effet régularisant pour l'équation u"+Au+cA^αu'=0 où A est un opérateur auto-adjoint positif sur un espace de Hilbert réel H et α ∈(0, 1]; c > 0. Si α ≥ ½ l'équation engendre un semi-groupe analytique sur D(A^½)×H, et si α ∈(0,½) une propriété de régularisation plus faible mais optimale est prouvée. Enfin des propriétés de conservation de la régularité associée à d'autres normes sont obtenues, avec comme exemple typique d'application l'équation des ondes u_tt - Δu - cΔu_t=0 avec condition de Dirichlet homogène dans un domaine borné pour laquelle la régularité C₀(Ω)×C₀(Ω) est conservée pour t > 0, un saisissant contraste avec le cas conservatif u_tt - Δu=0 dans lequel la régularité C₀(Ω) peut-être perdue même pour un état initial (u₀,0) avec u₀∈C₀(Ω)∩C¹(¯&Omega).

Abstract: The regularity conservation as well as the smoothing effect are studied for the equation u"+Au+cA^αu'=0 where A is a positive selfadjoint operator on a real Hilbert space H and α ∈(0, 1]; c > 0. When α ≥,½ the equation generates an analytic semigroup on D(A^½)×H , and if α ∈ (0,½) a weaker optimal smoothing property is established. Some conservation properties in other norms are established, a typical example being the strongly dissipative wave equation u_tt - Delta;u - cΔu_t=0 with Dirichlet boundary conditions in a bounded domain for which the space C₀(Ω) ×C₀(Ω) is conserved for t > 0,in sharp contrast with the conservative case u_tt - Δu=0 for which C₀(Ω)-regularity can be lost even starting from an initial state (u₀,0) with u₀∈C₀(Ω)∩C¹(^¯Ω).

Mots Clés: Regularity; analytic semi-group; smoothing effect

Date: 2007-09-20