• Nadia AIB

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Résumé: Soit Ω_εµ une plaque réticulé d'épaisseur ε, perforée périodiquement (de période ε) par des trous carrés, disposés en quinconce. Le matériau est concentré dans des couches dont la taille est de l'ordre de εµ. On considère la contrôlabilité exacte interne de l'équation des ondes dans Ω_εµ avec une condition aux limites de Neumann sur le bord des trous. Dans un premier temps, on établit par la méthode HUM de J. L. Lions, l'existence d'un contrôle exact v_εµ pour ce problème. On s'intéresse ensuite au comportement asymptotique de la suite des contrôles v_εµ lorsque'on fait tendre d'abord ε et ensuite µ vers zéro. Le premier passage à la limite est un processus d'homogénéisation classique. On montre que la suite v_εµ converge faiblement vers une fonction v_µ qui est un contrôle exact du système homogéneisé. Cette propriété de stabilité par rapport au petit paramètre ε, se maintient aussi par rapport au deuxième paramètre µ. En effet, nous montrons que v_µ converge vers une fonction v, qui est un contrôle exact interne du système limite obtenu en faisant µ → 0 dans le problème homogéneisé.

Abstract: Let Ω_εμ be a lattice-type plate of thickness ε, ε-periodically perforated by staggered holes. The material is concentrated on layers of thickness εμ. We are interested in the exact internal controllability of the wave equation posed in Ω_εμ with a homogeneous Neumann boundary condition on the boundary of the holes. In a first step, an exact internal control v_εμ is built by the HUM method introduced by J. L. Lions. Then we study the asymptotic behavior of the system and of the sequence of controls v_εμ when first ε and afterwards μ go to zero. The first passage to the limit is a classical homogenization process. We show that v_εμ converge weakly to a function v_μ which is an exact internal control for the homogenized system. This stability property with respect to the small parameter ε, occurs also with respect to the second small parameter μ. Indeed, we show that v_μ converge to a function v, an exact control for the limit system obtained by making μ → 0 in the homogenized problem.

Mots Clés: ;

Date: 2007-06-29