• Giuseppe BUTTAZZO
• Guillaume CARLIER
• Myriam COMTE

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Code(s) de Classification CR:

Résumé: Étant donnés un ouvert Ω de ℝ^d et deux fonctions poids positives ƒ et g, les ensembles de Cheeger de Ω sont les sous domaines C de périmètre fini de Ω qui maximisent le rapport ∫_cƒ(x)dx/∫_∂*c g(x)dΗ^d-1. L'existence des ensembles de Cheeger est un fait bien connu. L'unicité n'est pas vraie en général (même si elle est vraie dans le cas où Ω est convexe et ƒ ≡ g ≡ 1 comme démontré récemment dans [4]). Cependant il existe un unique ensemble maximal de Cheeger (au sens de l'inclusion) et dans cet article nous proposons un procédé afin de le déterminer. Nous démontrons que l'approche par le p-Laplacien ne donne pas, quand p → 1, un critère de sélection de l'ensemble de Cheeger maximal. En revanche une stratégie de perturbation basée sur la maximisation sous contrainte de ∫_Ω ƒ(u-εΦ(u))dx où Φ est une fonction strictement convexe conduit, quand ε→0 à l'ensemble de Cheeger maximal.

Abstract: Given a bounded open subset Ω of ℝ^d and two positive weight functions ƒ et g, the Cheeger sets of Ω are the subdomains C of finite perimeter of Ω that maximize the ratio ∫_cƒ(x)dx/∫_∂*c g(x)dΗ^d-1. Existence of Cheeger sets is a well-known fact. Uniqueness is a more delicate issue and is not true in general (although it holds when Ω is convex and ƒ ≡ g ≡ 1 as recently proved in [4]). However, there always exists a unique maximal (in the sense of inclusion) Cheeger set and this paper addresses the issue of how to determine this maximal set. We show that in general the approximation by the p-Laplacian does not provide, as p → 1, a selection criterion for determining the maximal Cheeger set. On the contrary, a different perturbation scheme, based on the constrained maximization of ∫_Ω ƒ(u-εΦ(u))dx for a strictly convex function Φ, gives, as ε→0, the desired maximal set.

Mots Clés: Cheeger sets; p-Laplacian approximation; concave penalization; 1-Laplacian type operators.

Date: 2007-03-30