• Dominique BLANCHARD
• Antonio GAUDIELLO
• Taras A. MEL'NYK

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Résumé: Cet article concerne le comportement asymptotique de la flexion d'une structure bidimensionnelle élastique Ω_ε⁺∪ Ω_ε^-(contenue dans le plan (x₁,x₂) et sous l'hypothèse de Kirchhoff-Love) dont la géométrie dépend d'un petit paramètre ε de la façon suivante (voir la Figure 1). Le domaine Ω_ε^- est une bande d'épaisseur h_ε (dans la direction x₂) qui tend vers 0 avec ε. Le second domaine Ω_ε⁺ est consitué d'un ensemble de créneaux bidimensionnels ε- périodiquement répartis dans la direction x₁ et de hauteur constante dans la direction x₂. La structure est encastrée aux sommets des créneaux, libre sur le reste de la frontière et elle est soumise à un champ de forces transverses. A la limite nous obtenons un ”continuum” de modèles de poutres en flexion dans le domaine rempli asymptotiquement par les créneaux et un déplacement constant en x₂ dans la bande (mise à l'échelle par rapport à h_ε). Nous démontrons que si h_ε >> ε⁴ le déplacement dans la bande est égal à celui de la base des créneaux. Par contre, si l'épaisseur de la bande est de l'ordre de ε⁴, des oscillations microscopiques du déplacement dans la bande entre les bases des créneaux induisent une discontinuité dans la condition de transmission du déplacement pour le modèle limite.

Abstract: We investigate the asymptotic behavior, as ε tends to 0⁺, of the transverse displacement of a Kirchhoff-Love plate composed of two domains Ω_ε⁺∪ Ω_ε^-, contained in the (x₁,x₂)-coordinate plane and depending on ε in the following way. The first domain Ω_ε^- is a thin strip with vanishing height h_ε (in direction x₂), as ε tends to 0⁺. The second one Ω_ε⁺ is a comb with fine teeth, having small cross section εω and constant height, ε-periodically distributed (in direction x₁) on the upper side of the thin strip (see Figure 1). The structure is assumed clamped on the top of the teeth, with a free boundary elsewhere, and subjected to a transverse load. As ε tends to 0⁺, we obtain a "continuum" bending model of rods in the limit domain of the comb, while the limit displacement is independent of x₂ in the rescaled (with respect to h_ε) strip. We show that the displacement in the strip is equal to the displacement on the base of the teeth, if h_ε >> ε⁴. While, if the strip is thin enough (i.e. h_ε ≃ ε⁴), we show that microscopic oscillations of the displacement in the strip, between the basis of the teeth, may produce a limit average field different from that on the base of the teeth, i.e. a discontinuity in the transmission condition may appear in the limit model.

Mots Clés: Kirchhoff-Love plate; rough boundary; thick junctions; homogenization; dimension reduction.

Date: 2007-03-23