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Résumé: A la suite des travaux de Geroch, Traschen, Mars et Senovilla, nous considérons des variétés Lorentziennes dont le tenseur de courbure est une distribution. De telles variétés représentent des espaces-temps de la relativité générale dans lesqueles peuvent se propager des ondes gravitationnelles, des ondes de choc, ou dautres structures singulières. Notre objectif est de fournir un cadre fonctionnel de nature géométrique (i.e., indépendant d'un choix de coordonnées locales). Nous déterminons tout d'abord les hypothèses minimales sur le tenseur métrique nous permettant de définir rigoureusement la courbure de l'espace-temps dans le cadre de la théorie des distributions. Cela nous amène à une dérivation directe des relations de saut associées aux parties singulières des opérateurs de connection et de courbure. Nous étudions ensuite la géométrie induite sur une hypersurface de signature générale, et nous déterminons les hypothèses minimales requises afin de définir, au sens des distributions, les tenseurs de courbure et la deuxième forme fondamentale de l'hypersurface, et d'établir les relations de Gauss-Codazzi.
Abstract: Following Geroch, Traschen, Mars, and Senovilla, we consider Lorentzian manifolds with distributional curvature tensor. Such manifolds represent spacetimes of general relativity that possibly contain gravitational waves, shock waves, and other singular patterns. We aim here at providing a comprehensive and geometric (i.e., coordinate-free) framework. First, we determine the minimal assumptions required on the metric tensor in order to give a rigorous meaning to the spacetime curvature within the framework of distribution theory. This leads us to a direct derivation of the jump relations associated with singular parts of connection and curvature operators. Second, we investigate the induced geometry on a hypersurface with general signature, and we determine the minimal assumptions required to define, in the sense of distributions, the curvature tensors and the second fundamental form of the hypersurface and to establish the Gauss-Codazzi equations.
Mots Clés: ;
Date: 2007-02-14