Saint-Venant equations on a surface

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Résumé: On établit que le tenseur linéarisé de changement de métrique et le tenseur linéarisé de changement de courbure associés à un champ de déplacements d’une surface S immergée dans R3 doivent satisfaire des conditions de compatibilité qui peuvent être vues comme une version linéarisée des équations de Gauss et de Codazzi-Mainardi. Ces conditions de compatibilité, qui sont l'analogue dans la théorie bidimensionnelle de coques des équations de Saint-Venant de la théorie tridimensionnelle de l’élasticité, constituent les équations de Saint-Venant sur la surface S.
On démontre ensuite que ces conditions de compatibilité sont aussi suffisantes, i.e., elles caractérisent en fait les tenseurs linéarisés de changement de métrique et de courbure, dans le sens suivant : si deux champs de matrices symétriques d’ordre deux satisfont les conditions de compatibilité ci-dessus sur une surface simplement connexe S de R3, alors ils sont les tenseurs linéarisés de changement de métrique et de courbure associés à un champ de déplacements de la surface S, champ dont l’existence est ainsi établie.
La preuve fournit un algorithme explicite pour la reconstruction d’un tel champ de déplacements à partir de ses tenseurs linéarisés de changement de métrique et de courbure. Cet algorithme peut être vu comme une version linéarisée de la reconstruction d’une surface à partir de ses deux premières formes fondamentales.

Abstract: We establish that the linearized change of metric and linearized change of curvature tensors associated with a displacement field of a surface S immersed in R3 must satisfy compatibility conditions that may be viewed as the linear version of the Gauss and Codazzi-Mainardi equations. These compatibility conditions, which are the analogous in two-dimensional shell theory of the Saint-Venant equations in three-dimensional elasticity, constitute the Saint-Venant equations on the surface S.
We next show that these compatibility conditions are also sufficient, i.e., they in fact characterize the linearized change of metric and the linearized change of curvature tensors in the following sense: If two symmetric matrix fields of order two defined over a simply-connected surface SR3 satisfy the above compatibility conditions, then they are the linearized change of metric and linearized change of curvature tensors associated with a displacement field of the surface S, a field whose existence is thus established.
The proof provides an explicit algorithm for recovering such a displacement field from the linearized change of metric and linearized change of curvature tensors. This algorithm may be viewed as the linear counterpart of the reconstruction of a surface from its first two fundamental forms.

Mots Clés: ;

Date: 2007-02-01