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Résumé: On établit que le tenseur linéarisé des déformations en coordonnées curvilignes associé à un champ de déplacements donné vérifie nécessairement des équations de Saint-Venant en coordonnées curvilignes. On démontre ensuite que ces équations sont aussi suffisantes, dans le sens suivant: Si un champ de matrices symétriques satisfait les équations de Saint-Venant en coordonnées curvilignes dans ouvert simplement connexe, alors il est le tenseur linéarisé des déformations associé à un champ de déplacements. De plus, la preuve fournit un algorithme explicit pour la reconstruction d'un tel champ de déplacements à partir de son tenseur linéarisé des déformations en coordonnées curvilignes. Cet algorithme peut être vu comme une version linéarisée de la reconstruction d'une immersion à partir d'une métrique Riemannienne de courbure nulle.
Abstract: We establish that the linearized strains in curvilinear coordinates associated with a given displacement field necessarily satisfy Saint-Venant equations in curvilinear coordinates. Furthermore, we show that these equations are also sufficient, in the following sense: If a symmetric matrix field defined over a simply connected open set satisfies the Saint-Venant equations in curvilinear coordinates,then its coefficients are the linearized strains associated with a displacement field.In addition, our proof provides an explicit algorithm for recovering such a displacement field from its linear strains in curvilinear coordinates. This algorithm may be viewed as the linear counterpart of the reconstruction of an immersion from a given flat Riemannian metric.
Mots Clés: ;
Date: 2007-02-01