Nonlinear hyperbolic systems: Non-degenerate flux, inner speed variation,and graph solutions

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Résumé: Nous etudions le probleme de Cauchy pour un systeme hyperbolique nonlineaire general a une variable d'espace. Tout d'abord nous reprenons la construction de la solution dfu probleme de Riemann et introduisons une notion de flux non-degenere. Il s'agit de la condition optimale assurant que le probleme de Riemann est resoluble par un nombre fini d'ondes. Nous demontrons que cette condition est generique au sens de Baire (pour la topologie de Wthitney) de sorte que tout systeme peut etre approche par un systeme non-degenere.Dans une deuxieme partie, nous introdusons le concept de variation de vitesse d'onde, et nous etablissons des estimations d'interaction pour les forces et les vitesses d'ondes. Dans une troisieme partie,nous decrivons un schema de suivi de fronts, et en demontrons la convergence vers la solution entropique.Cette theorie est finalement appliquee a l'etude de la regularite en temps des solutions graphes introduites par le second auteur: la composante en espace peut etre parametree continuement en temps, mais la composante verticale a seulement une variation totale en temps bornee.

Abstract: We study the Cauchy problem for general, nonlinear, strictly hyperbolic systems of partial differential equations in one space variable. First, we re-visit the construction of the solution to the Riemann problem and introduce the notion of a nondegenerate (ND) system. This is the optimal condition guaranteeing, as we show it, that the Riemann problem can be solved with finitely many waves, only; we establish that the ND condition is generic in the sense of Baire (for the Whitney topology), so that any system can be approached by a ND system. Second, we introduce the concept of inner speed variation and we derive new interaction estimates on wave speeds. Third,we design a wave front tracking scheme and establish its strong convergence to the entropy solution of the Cauchy problem; this provides a new existence proof as well as an approximation algorithm. As an application, we investigate the time-regularity of the graph solutions (X,U) introduced by the second author, and propose a geometric version of our scheme; in turn, the spatial component X of a graph solution can be chosen to be continuous in both time and space, while its component U is continuous in space and has bounded variation in time.

Mots Clés: ;

Date: 2006-12-18