Hyperbolic conservation laws and spacetimes with limited regularity

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Résumé: Les lois de conservation posées sur des variétés interviennent dans la modélisation des fluides géophysiques et dans la théorie de la relativité générale. Dans des travaux récents, l'auteur de cet article et ses collaborateurs ont fourni les bases de l'étude des solutions faibles définies sur des variétés Riemanniennes ou Lorentziennes. Ils ont étudié l'existence et le comportement qualitatif de ces solutions. Le tenseur métrique est soit fixé, dans le cas des équations de Saint-Venant, soit l'une des inconnues principales de la théorie, dans le cas des équations d'Euler-Einstein. Ce travail aborde le cas des métriques non-régulières, et cet article présente des résultats dans trois directions: la théorie des lois de conservation sur les variétés (en collaboration avec M. Ben-Artzi, Jerusalem), l'existence d'espaces-temps de Gowdy à variation bornée (en collaboration avec J. Stewart, Cambridge), et les estimations de rayons d'injectivité des variétés Lorentziennes (en collaboration avec B.-L. Chen, Guangzhou).

Abstract: Hyperbolic conservation laws posed on manifolds arise in many applications to geophysical flows and general relativity. Recent work by the author and his collaborators attempts to set the foundations for a study of weak solutions defined on Riemannian or Lorentzian manifolds and includes an investigation of the existence and qualitative behavior of solutions. The metric on the manifold may either be fixed (shallow water equations on the sphere, for instance) or be one of the unknowns of the theory (Einstein-Euler equations of general relativity). This work is especially concerned with solutions and manifolds with limited regularity. We review here results on three themes: (1) Shock wave theory for hyperbolic conservation laws on manifolds, developed jointly with M. Ben-Artzi (Jerusalem); (2) Existence of matter Gowdy-type spacetimes with bounded variation, developed jointly with J. Stewart (Cambridge). (3) Injectivity radius estimates for Lorentzian manifolds under curvature bounds,developed jointly with B.-L. Chen (Guang-Zhou).

Mots Clés: ;

Date: 2006-12-18