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Résumé: Nous considérons un ensemble de poutres élastiques périodiquement distribuées sur une plaque élastique 3d (toutes d'axe x3) et nous analysons le comportement limite de ce problème lorsque la périodicité ε et le rayon r des poutres tendent vers zéro. Nous introduisons une décomposition du champ de déplacement de la forme u = U + u dans laquelle la partie principale U est un champ constant par morceau par rapport aux variables (x1,x2) (et qui s'étend donc naturellement sur un domaine fixe), alors que la perturbation u reste un champ défini sur le domaine oscillant qui représente les poutres.Nous donnons des estimations de U et u en fonction de l'énergie élastique totale. Ceci permet d'obtenir des estimations a priori de u sans chercher à évaluer la dépendance,par rapport à ε et r, de la constante de l'inégalité de Korn pour un tel domaine oscillant. Pour traiter le champ u, nous utilisons une version d'opérateur d'éclatement qui permet simultanément de redimensionner toutes les poutres et de travailler sur le même domaine fixe que pour U afin d'analyser le problème d'homogénéisation. La décomposition ci-dessus facilite aussi le passage à la limite et l'obtention les conditions de jonction limites entre les poutres et la plaque 3d.
Abstract: We consider a set of elastic rods periodically distributed over a 3d elastic plate (both of them with axis x3) and we investigate the limit behavior of this problem as the periodicity ε and the radius r of the rods tend to zero (see fig.1 below). We use decomposition of the displacement field in the rods of the form u = U + u where the principal part U is a field which is piecewise constant with respect to the variables (x1,x2) (and then naturally extended on a fixed domain), while the perturbation u remains defined on the oscillating domain containing the rods. We derive estimates of U and u in term of the total elastic energy. This allows to obtain a priori estimates on u without solving the delicate question of the dependence, with respect to ε and r,of the constant in Korn's inequality in such an oscillating domain. To deal with the field u, we use a version of an unfolding operator which permits both to rescale all the rods and to work on the same fixed domain as for U to carry out the homogenization process. The above decomposition also helps in passing to the limit and to identify the limit junction conditions between the rods and the 3d plate.
Mots Clés: linear elasticity; rods;rough boundary.
Date: 2006-12-05