• Georges GRISO

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Résumé: Dans cet article on étudie le comportement asymptotique d'une structure formée de poutres courbes d'épaisseur 2δ quand δ → 0. Cette étude se place dans le cadre de l'élasticité linéaire et utilise la méthode de l'éclatement. Cette méthode est basée sur plusieurs décompositions des déplacements et sur le passage à la limite dans des domaines fixes.
On montre que tout déplacement d'une structure formée de poutres est la somme d'un déplacement élémentaire de structure poutres (d.e.s.p.) concernant les sections droites et d'un déplacement résiduel rendant compte du gauchissement des sections droites. Le d.e.s.p. coïncide avec un déplacement rigide dans les jonctions. Tout d.e.s.p. est donné par deux fonctions appartenant à H¹(S;R³ )où S est le squelette de la structure (i.e. l'ensemble des lignes moyennes des poutres). L'une de ces fonctions U est le déplacement du squelette, l'autre R donne les rotations des sections droites. On montre que U est la somme d'un déplacement extensionnel et d'un déplacement inextensionnel. On donne des estimations a priori et ensuite on caractérise les limites des éclatés des déplacements de la structure.
Finalement on passe à la limite dans les équations linéarisées de l'élasticité en utilisant tous les résultats de [5]. On obtient d'une part un problème variationnel vérifié par le déplacement extensionnel limite et d'autre part un problème couplant le déplacement inextensionnel limite et les limites des angles de torsion des poutres.

Abstract: In this paper we study the asymptotic behavior of a structure made of curved rods of thickness 2δ when δ → 0. This study is carried on within the frame of linear elasticity by using the unfolding method. It is based on several decompositions of the structure displacements and on the passing to the limit in fixed domains.
We show that any displacement of a structure is the sum of an elementary rods-structure displacement (e.r.s.d.) concerning the rods cross sections and a residual one related to the deformation of the cross-section. The e.r.s.d. coincide with rigid body displacements in the junctions. Any e.r.s.d. is given by two functions belonging to H¹ (S;R³) where S is the skeleton structure (i.e. the set of the rods middle lines). One of this function U is the skeleton displacement, the other R gives the cross-sections rotation. We show that U is the sum of an extensional displacement and an inextensional one. We establish a priori estimates and then we characterize the unfolded limits of the rods-structure displacements.
Eventually we pass to the limit in the linearized elasticity system and using all results in [5], on the one hand we obtain a variational problem that is satisfied by the limit extensional displacement, and on the other hand, a variational problem coupling the limit of inextensional displacement and the limit of the rods torsion angles.

Mots Clés: linear elasticity; junctions, beams; curved rods; unfolding method

Date: 2006-12-04