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Résumé: Dans cet article, on s'intéresse à la résolution numérique,au moyen d'algorithmes de volumes finis,de problèmes de transport(passif) d'un nombre quelconque de constituants.La difficulté majeure est d'assurer(sur le plan numérique)à la fois la stabilité au sens L∞ de chaque fraction massique et celle de leur somme (c'est-à-dire d'assurer que celle-ci reste égale à 1).Ces contraintes sont satisfaites par l'algorithme classique upwind (qui est très dissipatif) mais ne le sont pas, sans un développement spécifique que nous effectuons ici, pour des algorithmes non linéaires, d'ordre supérieur ou non dissipatifs. Nous exhibons dans ce papier des contraintes explicites locales exprimées sur les flux numériques qui garantissent les propriétés de stabilité désirées. Le formalisme utilisé reprend celui de [2] et [3] développé pour le transport numérique non dissipatif mais stable de 2 constituants au plus (voir aussi [1] pour le même type de contraintes inégalités appliqué à des équations scalaires non linéaires). Après l'étude théorique, nous rapportons quelques résultats numériques en dimension 1 puis, en dimension 2, nous comparons les résultats numériques à ceux obtenus avec la méthode de reconstruction d'interface d'Youngs issue de [15]. L'avantage de la nouvelle méthode est qu'elle est simple à mettre en oeuvre, économique en temps de calcul, et flexible.
Abstract: This paper deals with the numerical transport of an arbitrary number of materials having the same velocity. The main difficulty is to derive numerical algorithms that are conservative for the mass of each component and that satisfy some inequality and equality constraints: each mass fraction has to stay in [0, 1] and the sum of all mass fractions should be 1. These constraints are satisfied by the classical upwind scheme (which is very dissipative) but not for most of non linear (high-order or anti-dissipative) schemes. Here we propose local conditions of inequality type for the finite volume fluxes of mass fractions to ensure the aforementioned constraints. More precisely, we give explicit stability intervals for each flux. This is done in the manner of [2] for hyperbolic systems, [3] for the transport of 2 components; see also [1] for the same type of inequality constraints for nonlinear conservation laws. Comparisons on two dimensional test-cases with the Young's interface reconstruction algorithm [15] show that results are qualitatively comparable. The advantages of this approach are its simplicity, its low computational cost, and its flexibility since it can deal with interfaces as well as mixing zones.
Mots Clés: Transport equations;finite volume methods; stability; high order and non dissipative schemes;
Date: 2006-11-16