Another approach to the fundamental theorem of Riemannian geometry in R3, by way of rotation fields

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Résumé: En 1992, C. Vallée a montré que le champ C de tenseurs métriques associé à une immersion suffisamment régulière d'un ouvert Ω ⊂ R3 dans l'espace Euclidien tridimensionnel vérifie nécessairement une relation de compatibilité définie en fonction de la racine carrée de C. L'objet principal de cet article est d'établir la réciproque suivante : si un champ suffisamment régulier C de matrices symétriques définies positives d'ordre trois satisfait cette relation de compatibilité dans un ouvert Ω ⊂ R3 simplement connexe,alors il existe une immersion de Ω dans l'espace Euclidien tridimensionnel telle que C est le champ de tenseurs métriques associé à cette immersion.
Ce théorème d'existence global fournit donc une alternative au théorème fondamental de la géométrie riemannienne pour un ouvert Ω ⊂ R3, dans lequel la relation de compatibilité exprime classiquement que le tenseur de courbure de Riemann associé au champ C s'annule dans Ω. En plus de sa nouveauté, cette approche est de nature plus "géométrique" que l'approche classique, dans la mesure où elle cherche à identifier directement la factorisation polaire du gradient de l'immersion en une rotation et une extension pure. Cette approche constitue également un premier pas vers l'analyse de modèles en élasticité tridimensionnelle non linéaire où le champ des rotations est considéré comme une inconnue à part entière.

Abstract: In 1992, C. Vallée showed that the metric tensor field C associated with a smooth enough immersion of an open set Ω ⊂ R3 into the three-dimensional Euclidean space necessarily satisfies a compatibility relation defined in terms of the square root of C. The main objective of this paper is to establish the following converse: if a smooth enough field of symmetric and positive-definite matrices C of order three satisfies the above compatibility relation over a simply-connected open set Ω ⊂ R3, then there exists an immersion of Ω into the three-dimensional Euclidean space such that C is the metric tensor field associated with this immersion.
This global existence theorem thus provides an alternative to the fundamental theorem of Riemannian geometry for an open set Ω ⊂ R3, where the compatibility relation classically expresses that the Riemann curvature tensor associated with the field C vanishes in Ω. In addition to its novelty, this approach possesses a more "geometrical" flavor than the classical one, as it directly seeks the polar factorization of the immersion gradient in terms of a rotation and a pure stretch. This approach also constitutes a first step towards the analysis of models in nonlinear three-dimensional elasticity where the rotation field is considered as one of the primary unknowns.

Mots Clés: ;

Date: 2006-11-15