An inverse inequality for some transport-diffusion equation. Application to the regional approximate controllability
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Résumé: Dans ce papier on démontre une inégalité inverse pour l'équation υt‒ ϵΔυ+M.∇υ=ƒ1ω avec conditions aux limites de type Dirichlet. Avec la motivation de trouver une
estimée de ƒ en fonction de la trace de la solution dans O × ( 0, T ) pour ϵ petit,notre étude consiste à étudier la convergence des solutions de cette équation vers les solutions d'une équation de transport quand ϵ → 0. En imposant quelques conditions sur les ouverts ω et O et le temps T , on arrive à démontrer que, dans la situation particulière où ƒ est independent du temps et ƒ ∈ H10(ω),
on a :
| ƒ |L2(ω) ≤
C ( |u|H1(0,T
;L2O)) + ϵ1/2 | ƒ |
H1(ω)).
De plus, on démontre que cette estimée implique un résultat
de contrôlabilitérégionale avec un contrôle agissant dans
O × (0, T ) comme second membre : pour chaque g
∈ L 2(ω), la norme L 2
du contrôle nécessaire pour avoir | u
(T)|ω ‒ g | H -1 (ω) ≤ γ est bornée par rapport à γ si ϵ ≤ C γ2 .
Abstract: In this paper we prove an inverse inequality for the parabolic equation
υt‒ ϵΔυ+M.∇υ=ƒ1ω with Dirichlet boundary conditions. With the motivation of
finding an estimate of ƒ in terms on the trace of the solution in O×( 0, T )
for ϵ small ,our approach consists in studying the convergence of the solutions of this equation to the solutions of
some transport equation when ϵ → 0, and then recover some inverse inequality from the properties of the last one. Under some conditions on the open sets ω and O, and the time T ,
we are able to prove that, in the particular case when ƒ ∈ H 10(ω) and it does not depend on time,
we have:
| ƒ |L2(ω) ≤
C ( |u|H1(0,T
;L2O)) + ϵ1/2 | ƒ |
H1(ω)).
On the other hand, we prove that this estimate implies a regional controllability result for the same equation but with a control acting in
O × (0, T )through the right hand side:for any fixed
g ∈ L 2(ω),the L 2- norm
of the control needed to have
| u
(T)|ω ‒ g | H -1 (ω) ≤ γ
remains, bounded with respect to γ si ϵ ≤ C γ2 .
Mots Clés: ;
Date: 2006-09-18