• F. LAGOUTIÈRE

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Résumé: On élabore et étudie des schémas de volumes finis non dissipatifs pour l'approximation des solutions entropiques de lois de conservation scalaires en dimension 1. Ce rapport est basé sur une étude préliminaire générale des schémas de reconstruction (F. L., rapport du laboratoire R05004,A study of stability of reconstruction schemes for hyperbolic PDEs). On sintéresse ici à un type de reconstruction particulier et nouveau : les reconstructions discontinues (dans chaque maille). Le but de telles reconstructions est le calcul précis des solutions discontinues. On trouve des conditions larges sous lesquelles un tel schéma est stable puis des conditions supplémentaires sous lesquelles il fait décroître une entropie. On fait un lien entre ces conditions de stabilité et des conditions plus classiques (théorie des limiteurs de flux). On fait ensuite une étude numérique détaillé pour le transport, l'équation de Burgers, et enfin une équation à flux non convexe.

Abstract: In this paper, we derive non-dissipative stable and entropic finite volume schemes for scalar PDEs. It is based on the previous analysis of [F. L., LJLL report R05004], which deals with general reconstruction schemes. More precisely, we develop discontinuous-in-cell reconstruction schemes, based on a discontinuous reconstruction of the solution in each cell of the mesh. The intend is to handle well especially with discontinuous solutions. The schemes satisfy L^∞-stability, decreasing of the total variation and of an entropy, and thus are convergent to an entropy solution. A link with other formalisms is established. We propose a detailed numerical study in the cases of advection with constant velocity, of Burgers' equations, and finally for a non-convex flux, for which we construct discontinuous reconstruction schemes having entropy fluxes for one strictly convex entropy.

Mots Clés: finite volume; reconstruction scheme; non-linear conserva-
tion law; stability conditions; numerical entropy fluxes; discontinuous recon-
struction; discontinuous solution.

Date: 2006-06-23