• M. BRIANE
• G. MOKOBODZKI
• F. MURAT

Code(s) de Classification MSC:

Code(s) de Classification CR:

Résumé: Dans cet article nous étudions les propriétés d'une suite (u_n)_{n ≥ 1}, qui converge faiblement dans W^1,p₀(Ω), p>1, vers une fonction u, avec u ≥ 0, et qui satisfait une inéquation du type -div(a_n(.,∇ u_n))≥ f_n, où (a_n)_{n ≥ 1}, est une suite d'opérateurs monotones et où (f_n)_{n ≥ 1} est une suite qui converge fortement dans W^-1,p'(Ω). Nous démontrons que la suite (u_n - (1-ε)u)^- converge fortement vers zéro dans W^1,p₀(Ω) pour tout ε fixé, 0<ε<1. Nous démontrons aussi grâce à un contre-exemple que ce résultat n'est plus vrai si ε=0. Une conséquence remarquable de cette convergence forte pour ε fixé est que, à une extraction de sous-suite près, la suite (u_n)_{n ≥ 1} vérifie une convergence semi-forte : (u_n)_{n ≥ 1} est supérieure à une suite qui converge fortement dans W^1,p₀(Ω) vers la même limite u. Nous donnons aussi un exemple de suite positive faiblement convergente qui ne satisfait pas cette propriété de semi-forte convergence (et qui ne peut donc pas satisfaire une inéquation du type ci-dessus). Finalement, dans le cas linéaire avec des matrices qui oscillent rapidement, nous améliorons le résultat de convergence ci-dessus en remplaçant la constante arbitraire ε > 0 par une suite (ε _n)_{n ≥ 1} qui converge vers zéro.

Abstract: In this paper we study the properties of any sequence (u_n)_{n ≥ 1} weakly converging to a nonnegative function u in W^1,p₀(Ω), p>1, and satisfying a variational inequality of type -div(a_n(.,∇ u_n))≥ f_n, where (a_n)_{n ≥ 1} is a suitable sequence of monotone operators and (f_n)_{n ≥ 1} is any strongly convergent sequence in the dual space W^-1,p'(Ω). We prove that the sequence (u_n - (1-ε)u)^- strongly converges to 0 in W^1,p₀(Ω) for any ε>0. We show by a counter-example that the result does not hold true if ε=0. A remarkable corollary of these strong ε-convergences is that the sequence (u_n)_{n ≥ 1} satisfies, up to a subsequence, a kind of semi-strong convergence: (u_n)_{n ≥ 1} can be bounded from below by a sequence which converges to the same limit u but strongly in W^1,p₀(Ω). We also give an example of a nonnegative weakly convergent sequence which does not satisfy this semi-strong convergence property and hence cannot satisfy any variational inequality of the previous type. Finally, in the linear case of a sequence of highly oscillating matrices, we improve the strong $\varepsilon$-convergences by replacing the arbitrary small constant ε>0 by a sequence (ε _n)_{n ≥ 1} converging to 0.

Mots Clés: ;

Date: 2006-03-21