Homogenization of stratified thermoviscoplastic materials

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Résumé: Dans cet article, nous étudions l'homogénéisation du système d'équations aux dérivées partielles
$$
\begin{array}{l}
\displaystyle{\rho^\varepsilon(x) {\partial v^\varepsilon \over \partial t} - {\partial
\over \partial x} \left(\mu^\varepsilon(x,\theta^\varepsilon) {\partial v^\varepsilon \over
\partial x}\right) = f,}\\
\\
\displaystyle{c^\varepsilon(x,\theta^\varepsilon) {\partial\theta^\varepsilon \over \partial t} =
\mu^\varepsilon(x,\theta^\varepsilon) \left({\partial v^\varepsilon \over \partial
x}\right)^2,}
\end{array}
$$
posé dans $a < x < b$, $0 < t < T$ et complété par des conditions aux limites sur $v^\varepsilon$ et des conditions initiales sur $v^\varepsilon$ et $\theta^\varepsilon$. Les inconnues sont la vitesse $v^\varepsilon$ et la température $\theta^\varepsilon$, alors que les coefficients $\rho^\varepsilon$, $\mu^\varepsilon$ et $c^\varepsilon$ sont des données qui vérifient
$$
0 < c_1 \leq \mu^\varepsilon(x,s) \leq c_2, \quad
0 < c_3 \leq c^\varepsilon(x,s) \leq c_4,\quad
0 < c_5 \leq \rho^\varepsilon(x) \leq c_6,
$$
$$
\displaystyle{- c_7 \leq {\partial \mu^\varepsilon \over \partial s} (x,s) \leq 0, \quad
|c^\varepsilon(x,s) - c^\varepsilon(x,s')|Ê\leq \omega(|s - s'|).}
$$
Cette suite de problèmes unidimensionnels modélise l'homogénéisation de ma\-tériaux thermo-viscoplastiques hétérogènes dont la résistance diminue avec la température, et dont le taux
de travail plastique converti en chaleur dépend de la température. Sous les hypothèses ci-dessus, nous démontrons que ce système est stable par homogénéisation. Plus précisément, on peut extraire une sous-suite $\varepsilon'$ pour laquelle la vitesse $v^{\varepsilon'}$ et la température $\theta^{\varepsilon'}$ convergent vers une vitesse homogénéisée $v^0$ et une température homogénéisée $\theta^0$ qui sont solution d'un système similaire à celui dont $v^\varepsilon$ et $\theta^\varepsilon$ sont solution, pour des coefficients $\rho^0$, $\mu^0$ et $c^0$ qui satisfont des hypothèses analogues à celles satisfaites par $\rho^\varepsilon$, $\mu^\varepsilon$ et $c^\varepsilon$. Les coefficients homogénéisés $\rho^0$, $\mu^0$ et $c^0$ sont donnés par des formules explicites (même si elles sont assez compliquées). En particulier le coefficient thermique homogénéisé $c^0$ dépend en général de la température, même si les coefficients thermiques hétérogènes $c^\varepsilon$ n'en dépendent pas.


Abstract: In the present paper we study the homogenization of the system of partial differential equations
$$
\begin{array}{l}
\displaystyle{\rho^\varepsilon(x) {\partial v^\varepsilon \over \partial t} - {\partial
\over \partial x} \left(\mu^\varepsilon(x,\theta^\varepsilon) {\partial v^\varepsilon \over
\partial x}\right) = f,}\\
\\
\displaystyle{c^\varepsilon(x,\theta^\varepsilon) {\partial\theta^\varepsilon \over \partial t} =
\mu^\varepsilon(x,\theta^\varepsilon) \left({\partial v^\varepsilon \over \partial
x}\right)^2,}
\end{array}
$$
posed in $a < x < b$, $0 < t < T$, completed by boundary conditions on $v^\varepsilon$ and by initial conditions on $v^\varepsilon$ and $\theta^\varepsilon$. The unknowns are the velocity $v^\varepsilon$ and the temperature $\theta^\varepsilon$, while the coefficients $\rho^\varepsilon$, $\mu^\varepsilon$ and $c^\varepsilon$ are data which are assumed to satisfy
$$
0 < c_1 \leq \mu^\varepsilon(x,s) \leq c_2, \quad
0 < c_3 \leq c^\varepsilon(x,s) \leq c_4,\quad
0 < c_5 \leq \rho^\varepsilon(x) \leq c_6,
$$
$$
\displaystyle{- c_7 \leq {\partial \mu^\varepsilon \over \partial s} (x,s) \leq 0, \quad
|c^\varepsilon(x,s) - c^\varepsilon(x,s')|Ê\leq \omega(|s - s'|).}
$$
This sequence of one dimensional systems is a model for the homogenization of nonhomogeneous, stratified, thermoviscoplastic materials exhibiting thermal softening and temperature dependent rate of plastic work converted into heat. Under the above hypotheses we prove that this system is stable by homogenization. More precisely one can extract a subsequence $\varepsilon'$ for which the velocity $v^{\varepsilon'}$ and the temperature $\theta^{\varepsilon'}$ converge to some homogenized velocity $v^0$ and some homogenized temperature $\theta^0$ which solve a system similar to the system solved by $v^\varepsilon$ and $\theta^\varepsilon$, for coefficients $\rho^0$, $\mu^0$ and $c^0$ which satisfy hypotheses similar to the hypotheses satisfied by $\rho^\varepsilon$, $\mu^\varepsilon$ and $c^\varepsilon$. These homogenized coefficients $\rho^0$, $\mu^0$ and $c^0$ are given by some explicit (even if sophisticated) formulas. In particular, the homogenized heat coefficient $c^0$ in general depends on the temperature even if the heterogeneous heat coefficients $c^\varepsilon$ do not depend on it.

Mots Clés: ;

Date: 2006-02-16