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Résumé: Nous étudions dans cet article quelques propriétés de solutions entropiques de systèmes de lois de conservation hyperboliques sur des variétés Riemanniennes. Nous généralisons tout d'abord la propriété de décroissance de la variation totale (TVD) au cas des variétés, en démontrant que certaines conditions sur le flux de la loi de conservation et un champ de vecteur donné impliquent que la variation totale de la solution le long des courbes intégrales du champ de vecteur et décroissante en temps. Nous appliquons ensuite nos résultats au cas particulier important de la 2-sphère. Des exemples de flux sont également étudiés. Dans un deuxième temps, nous établissons la convergence de la méthode de volumes finis utilisant des fonctions de flux numériques vérifiant des propriétés de monotonie. Notre preuve nécessite des estimations préceises de la dissipation d'entropie, et généralise au cas général de variétés une preuve antérieure de Cockburn, Coquel et LeFloch dans le cas Euclidien.
Abstract: This paper investigates some properties of entropy solutions of hyperbolic conservation laws on a Riemannian manifold. First, we generalize the Total Variation Diminishing (TVD) property to manifolds, by deriving conditions on the flux of the conservation law and a given vector field ensuring that the total variation of the solution along the integral curves of the vector field is non-increasing in time. Our results are next specialized to the important case of a flow on the 2-sphere, and examples of flux are discussed. Second, we establish the convergence of the finite volume methods based on numerical flux-functions satisfying monotonicity properties. Our proof requires detailed estimates on the entropy dissipation, and extends to general manifolds an earlier proof by Cockburn, Coquel, and LeFloch in the Euclidian case.
Mots Clés: ;
Date: 2006-02-16