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Résumé: Nous définissons dans cet article une notion d'énergie pour des réseaux stochastiques microscopiques. Il s'agit de généralisations de réseaux périodiques, pour lesquels ces questions de définitions d'énergies sont abordées dans des travaux précédents [14,15,16,17,18]. Le cas de géométries non périodiques déterministes a également été étudié dans [6]. Les réseaux stochastiques que nous introduisons ici peuvent être vus comme des perturbations aléatoires d'un réseau cristallin périodique, en lien avec certaines modélisations de matériaux. Les modèles que nous utilisons sont soit classiques avec interaction de paire, ou bien quantiques. Dans ce second cas, les sites du réseau considérés sont des noyaux d'atomes dont les électrons sont répartis sur tout l'espace. Les énergies de ces réseaux stochastiques infinies sont déduites des modèles à nombre fini de particules par un procédé de limite thermodynamique. Nous étudierons dans un futur travail [7] le passage au niveau macroscopique pour de telles réseaux microscopiques, en prolongement des travaux [4,5]. De telles convergences pour des réseaux stochastique ont déjà été étudiées (en dimension 1) dans [21].
Abstract: We introduce a notion of energy for some microscopic stochastic lattices. Such lattices are broad generalizations of simple periodic lattices, for which the question of the definition of an energy was examined in a series of previous works [14,15,16,17,18]. Note that slightly more general deterministic geometries were also considered in [6]. These lattices are involved in the modelling of materials whose microscopic structure is a perturbation, in a sense made precise in the article, of the periodic structure of a perfect crystal. The modelling considered here is either a classical modelling, where the sites of the lattice are occupied by ball-like atomic systems that interact by pair potentials, or a quantum modelling where the sites are occupied by nuclei equipped with an electronic structure spread all over the ambient space. The corresponding energies for the infinite stochastic lattices are derived consistently with truncated systems of finite size, by application of a thermodynamic limit process. A subsequent work [7] will be devoted to the macroscopic limits of the energies of such microscopic lattices, thereby extending to a stochastic context the results of [4,5]. Such convergences in a stochastic setting (in dimension 1) have been studied in [21].
Mots Clés: ;
Date: 2005-12-02