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Résumé: Nous prouvons l'existence et l'unicité des solutions du problème de Riemann associé aux équations d'Euler à plusieurs pressions indépendantes. Ce modèle s'obtient naturellement comme limite asymptotique des équations de Navier-Stokes multi-pression dans le régime d'un nombre de Reynolds infini. En raison de la forme non conservative de la régularisation visqueuse considérée, le système limite présente des termes source de type mesures concentrées le long des chocs. Ces mesures négatives bornées, appelées relations cinétiques, sont un moyen convenable de prendre en compte l'effet des petites échelles dans la limite singulière. En considérant N lois de pression polytropiques indépendantes, nous montrons que ces relations cinétiques peuvent être obtenues en résolvant un problème algébrique simple qui gouverne les états de sortie des profils de choc visqueux, les rapports de viscosité intervenant dans la régularisation étant fixes. Notre étude est basée sur une analyse onde progressive qui nous permet d'introduire le système limite dans le cadre des fonctions Lipschitziennes par morceaux et d'étudier le problème de Riemann associé.
Abstract: We prove the existence and uniqueness of the Riemann solutions to the Euler equations closed by N independent constitutive pressure laws. This model stands as a natural asymptotic system for the multi-pressure Navier-Stokes equations in the regime of infinite Reynolds number. Due to the inherent lack of conservation form in the viscous regularization, the limit system exhibits measure-valued source terms concentrated on shock discontinuities. These non-positive bounded measures, called kinetic relations, are known to provide a suitable tool to encode the small-scale sensitivity in the singular limit. Considering N independent polytropic pressure laws, we show that these kinetic relations can be derived by solving a simple algebraic problem which governs the endpoints of the underlying viscous shock profiles, for any given but prescribed ratio of viscosity coefficient in the viscous perturbation. The analysis based on traveling wave solutions allows us to introduce the asymptotic Euler system in the setting of piecewise Lipschitz continuous functions and to study the Riemann problem.
Mots Clés: ;
Date: 2005-10-26