On the inverse problem of the product of a form by a monomial: the case n=4

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Résumé: Une forme (fonctionnelle linéaire) $ u$ est dite régulière, lorsqu'il existe une suite unique de polynômes normalisés, orthogonale par rapport à $ u$. Dans certaines conditions, le produit à gauche d'une forme régulière par un polynôme est encore régulier. Dans cet article, on considère le problème inverse suivant : étant donnée une forme régulière $ v$, trouver toutes les formes régulières $ u$ vérifiant l'équation $ x^4 u = - \lambda v$, $ \lambda \in {\mathbb{C}} \backslash \{0\}$. On donne les coefficients de la relation de récurrence d'ordre deux vérifiée par la suite orthogonale par rapport à $ u$. Quelques exemples sont traités.
Abstract: A form (linear functional) $ u$ is called regular if there exists a unique sequence of monic polynomials $ \{P_n\}_{n \geq 0}$, deg $ P_n = n$, which is orthogonal with respect to $ u$. On certain regularity conditions, the product of a regular form by a polynomial is still a regular form. In this paper, we consider the particular inverse problem: given a regular form $ v$, find all the regular forms $ u$ which satisfy the equation $ x^4 u = - \lambda v$, $ \lambda \in {\mathbb{C}} \backslash \{0\}$. We give the second order recurrence relation of the orthogonal sequence with respect to $ u$. Some examples are studied. Mots Clés: ;

Date: 2005-09-14