• Christophe CHALONS

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Résumé: Ce papier présente une stratégie numérique très efficace pour approcher les solutions faibles d'une loi de conservation scalaire non vraiment nonlinéaire. Nous considérons la situation typique où la fonction flux est de type concave-convexe ou convexe-concave. Dans une telle situation, des chocs nonclassiques violant le critère entropique d'Oleinik apparaissent naturellement comme limites de certaines régularisations visco-capillaires et doivent donc être pris en compte dans la résolution du problème de Riemann. La dynamique de ces discontinuités est dictée par la donnée d'une fonction cinétique fixant le taux de dissipation d'entropie à travers les discontinuités, ou de manière équivalente leur vitesse de propagation. D'un point de vue numérique, la principale difficulté consiste à forcer la validité du critère cinétique, ce qui revient à contrôler la dissipation d'entropie numérique associée à la discrétisation considérée. Il s'agit d'un véritable challenge numérique. Par le biais d'un algorithme composé de deux pas, à savoir une phase Equilibre et une phase Transport, nous montrons dans ce papier comment forcer la validité de la relation cinétique au niveau discret. Le schéma obtenu donne par ailleurs des profils de choc discrets raides (sans aucune diffusion numérique). Des résultats numériques illustrent la validité de notre approche.

Abstract: This paper presents a very efficient numerical strategy for computing weak solutions of scalar conservation laws which fail to be genuinely nonlinear. We concentrate on the typical situation of either concave-convex or convex-concave flux functions. In such a situation, nonclassical shocks violating the classical Oleinik entropy criterion must be taken into account since they naturally arise as limits of certain diffusive-dispersive regularizations to hyperbolic conservation laws. Such discontinuities play an important part in the resolution of the Riemann problem and their dynamics turns out to be driven by a prescribed kinetic function which acts as a selection principle. It aims at imposing the entropy dissipation rate across nonclassical discontinuities, or equivalently their speed of propagation. From a numerical point of view, the serious difficulty consists in enforcing the kinetic criterion, that is in controling the numerical entropy dissipation of nonclassical shocks for any given discretization. This is known to be a very challenging issue. By means of an algorithm made of two steps, namely an Equilibrium step and a Transport step, we show how to force the validity of the kinetic criterion at the discrete level. The resulting scheme provides in addition sharp profiles. Numerical evidences illustrate the validity of our approach.

Mots Clés: ;

Date: 2005-09-14