• Georges GRISO

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Résumé: L'objectif de ce travail est l'étude du comportement asymptotique d'une structure formée de plaques d'épaisseur $2\delta$ lorsque $\delta\rightarrow 0$. Cette étude se place dans le cadre de l'élasticité linéaire et utilise la méthode de l'éclatement. Cette méthode est basée sur plusieurs décompositions des déplacements de la structure et sur le passage à la limite dans des domaines fixés. On commence par étudier les déplacements d'une plaque. On montre que tout déplacement est la somme d'un déplacement élémentaire concernant les fibres transverses de la plaque et d'un gauchissement. Un déplacement élémentaire est linéaire par rapport à la variable $x_3$. Il s'écrit $U(x)+R(x)\wedge x_3e_3$ où U est le déplacement de la surface moyenne de la plaque. On donne des estimations a priori et des résultats de convergence quand $\delta \rightarrow 0$. On caractérise les limites des éclatés des déplacements ainsi que les limites des éclatés des composantes du tenseur des déformations. Nous étendons ensuite ces résultats aux structures formées de plaques. On montre que tout déplacement de la structure est la somme d'un déplacement élémentaire de chaque plaque de la structure et d'un déplacement résiduel. Le déplacement élémentaire de la structure (d.e.s.) coïncide avec un déplacement élémentaire d'une structure-poutres dans les jonctions. Tout d.e.s. est donné par deux fonctions appartenant à $H^1(S;{\mathbb R}^3)$ où $S$ est le squelette de la structure (l'ensemble formé par les surfaces moyennes des plaques). L'une de ces fonctions $U$, est le déplacement du squelette. On montre que $U$ est la somme d'un déplacement inextensionnel et d'un déplacement extensionnel. Le premier caractérise les déplacements membranaires des plaques et les déplacements des arêtes. Le second déplacement est rigide dans la direction des plaques; il caractérise la flexion des plaques. Finalement on passe à la limite $\delta\rightarrow 0$ dans les équations linéarisées de l'élasticité. On obtient d'une part un problème variationnel vérifie par le déplacement extensionnel limite et d'autre part un problème vérifie par le déplacement inextensionnel limite.

Abstract: The aim of this work is to study the asymptotic behavior of a structure made of plates of thickness $2\delta$ when $\delta \rightarrow 0$. This study is carried on within the frame of linear elasticity by using the unfolding method. It is based on several decompositions of displacements of the structure and on the passing to the limit in fixed domains. We begin with studying the displacements of a plate. We show that any displacement is the sum of an elementary displacement concerning the normal lines on the middle surface of the plate and a warping. An elementary displacement is linear with respect to the variable $x_3$. It is written $U(x)+R(x)\wedge x_3e_3$ where $U$ is a displacement of the mid-surface of the plate. We show a priori estimates and convergence results when $\delta \rightarrow 0$. We characterize the limits of the unfolded displacements of a plate as well as the limits of the unfolded strained tensor. Then we extend these results to structures made of plates. We show that any displacement of a structure is the sum of an elementary displacement of each plate and of a residual displacement. The elementary displacements of the structure (e.p.s.d.) coincide with elementary rods displacements in the junctions. Any e.p.s.d. is given by two functions belonging to $H^1(S;{\mathbb R}^3)$ where $S$ is the skeleton of the structure (the set formed by the mid-surfaces of the plates constituting the surface). One of these functions, $U$, is the skeleton displacement. We show that $U$ is the sum of an extensional displacement and of an inextensional one. The first one characterizes the membrane displacements and the second one is a rigid displacement in the direction of the plates and it characterizes the flexion of the plates. Eventually we pass to the limit as $\delta \rightarrow 0$ in the linearized elasticity system. On the one hand we obtain a variational problem that is satisfied by the limit extensional displacement, and on the other hand, a variational problem satisfied by the limit of inextensional displacements.

Mots Clés: ;

Date: 2005-06-10