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Résumé: Un théoréme de base de la géométrie différentielle affirme que, si le tenseur de courbure de Riemann associé à un champ régulier $\boldsymbol{C}$ de matrices symétriques définies positives d'ordre $n$ s'annule sur un ouvert $\Omega$ de $\mathbb{R}^n$ simplement connexe, alors $\boldsymbol{C}$ est le tenseur métrique d'une variété isométriquement immergée dans $\mathbb{R}^n$. Si $\Omega$ est connexe, alors l'immersion isométrique $\boldsymbol{\Theta}$ ainsi définie est unique aux isométries de $\mathbb{R}^n$ près. On montre que, si l'ensemble $\Omega$ est borné et a une frontière régulière, alors l'application $\boldsymbol{C}\mapsto\boldsymbol{\Theta}$ est de classe $C^\infty$ entre variétés dans des espaces de Banach appropriés.
Abstract: A basic theorem from differential geometry asserts that, if the Riemann curvature tensor associated with a smooth field $\boldsymbol{C}$ of positive-definite symmetric matrices of order $n$ vanishes in a simply-connected open subset $\Omega$ of $\mathbb{R}^n$, then $\boldsymbol{C}$ is the metric tensor of a manifold isometrically immersed in $\mathbb{R}^n$. If $\Omega$ is connected, then the isometric immersion $\boldsymbol{\Theta}$ defined in this fashion is unique up to isometries of $\mathbb{R}^n$. We prove that, if the set $\Omega$ is bounded and has a smooth boundary, then the mapping $\boldsymbol{C}\mapsto\boldsymbol{\Theta}$ is of class $C^\infty$ between manifolds in appropriate Banach spaces.
Mots Clés: ;
Date: 2005-06-07