Convergence of an adaptive scheme for the one-dimensional Vlasov-Poisson system

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Résumé: On s'intéresse ici au problème de Cauchy associé à l'équation de Vlasov-Poisson uni-dimensionnelle, qui modélise l'évolution dynamique d'un plasma non-collisionnel. Pour ce problème de transport non-linéaire, dans lequel peuvent apparaître et se propager des structures filamentées, on propose un schéma adaptatif semi-Lagrangien accompagné d'une analyse d'erreur rigoureuse. Dans notre méthode, l'évolution des maillages adaptatifs se fait d'un pas de temps à l'autre par un simple algorithme de découpages dyadiques multi-échelles, et est justifiée par une analyse de la régularité locale des solutions qui prend en compte la façon dont ces dernières sont transportées par le flux numérique. La précision du schéma est alors contrôlée par un paramètre de tolérance $\varepsilon$ représentant l'erreur d'interpolation dans $L^\infty$ à chaque pas de temps, et on montre que les solutions numériques convergent en distance $L^\infty$ vers les solutions exactes lorsque $\varepsilon$ et le pas de temps $\Delta t$ tendent vers 0. Pour cela, la donnee initiale (à support compact dans ${\mathbb R}^2$) doit appartenir à $W^{1,\infty}\cap W^{2,1}$, et la convergence est établie en $O(\Delta t^2 + \frac{\varepsilon}{\Delta t})$, ce qui peut être comparé à des résultats récents de Besse qui prouve une vitesse semblable pour un schéma uniforme lorsque la donnée initiale appartient à $C^2$. Sur différentes simulations numériques, les maillages adaptatifs générés par notre schéma semblent optimaux.

Abstract: An adaptive semi-Lagrangian scheme for solving the Cauchy problem associated to the periodic one-dimensional Vlasov-Poisson system is proposed and analyzed. A key feature of our method is the accurate evolution of the adaptive mesh from one time step to the next one, based on the analysis of the local regularity and how it gets transported by the numerical flow. The accuracy of the scheme is monitored by a prescribed tolerance parameter $\varepsilon$ which represents the local interpolation error at each time step, in the $L^\infty$ metric. The numerical solutions are proved to converge in $L^\infty$ towards the exact ones as $\varepsilon$ and $\Delta t$ tend to zero provided the initial data is Lipschitz and has a finite total curvature, or in other terms, that it belongs to $W^{1,\infty}\cap W^{2,1}$. The rate of convergence is in $O(\Delta t^2 + \frac{\varepsilon}{\Delta t})$, which should be compared to the results of Besse, who recently established [6] similar rates for a uniform semi-Lagrangian scheme, but requiring that the initial data are in $C^2$. Several numerical tests illustrate the effectiveness of our approach for generating the optimal adaptive discretizations.

Mots Clés: Fully adaptive scheme ; semi-Lagrangian method ; Cauchy problem ; Vlasov-Poisson system ; convergence rates ; adaptive graded meshes ; hierarchical finite elements ; discrete curvatures

Date: 2005-05-13