On Pfaff systems with $L^p$ coefficients and their applications in differential geometry

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Résumé: On montre qu'un système de Pfaff avec $L^p_{{\text{$\operatorname{loc}$}}}$-coefficients, $p>2$, dans un ouvert simplement-connexe $\Omega$ de ${\mathbb{R}}^2$ admet au moins une solution non triviale de classe $W^{1,p}_{{\text{$\operatorname{loc}$}}}(\Omega)$ pourvu que ses coefficients satisfassent une condition de compatibilité au sens des distributions. Si de plus l'ensemble $\Omega$ est connexe, le problème de Cauchy associé au système de Pfaff admet une solution unique. Une application de ce résultat est que le théorème fondamental de la théorie des surfaces reste vrai sous l'hypothèse que les deux premières formes fondamentales sont respectivement de classe $W_{{\text{$\operatorname{loc}$}}}^{1,p}$ et $L_{{\text{$\operatorname{loc}$}}}^p$, avec $p>2$, et satisfont ensemble les équations de Gauss et de Codazzi-Mainardi au sens des distributions.

Abstract: We prove that a Pfaff system with $L^p_{{\text{$\operatorname{loc}$}}}$, $p>2$, coefficients in a simply-connected open subset $\Omega$ of ${\mathbb{R}}^2$ has at least a nontrivial solution of class $W^{1,p}_{{\text{$\operatorname{loc}$}}}(\Omega)$ provided that its coefficients satisfies a compatibility condition in the distributional sense. If in addition the set $\Omega$ is connected, the Cauchy problem associated with the Pfaff system has an unique solution. An application of this result is that the fundamental theorem of surface theory holds under the assumption that the first and second fundamental forms are respectively of class $W_{{\text{$\operatorname{loc}$}}}^{1,p}$ and $L_{{\text{$\operatorname{loc}$}}}^p$, with $p>2$, and satisfy together the Gauss and Codazzi-Mainardi equations in the distributional sense.

Mots Clés: Pfaff system; stability; fundamental theorem of surface theory

Date: 2005-04-22